Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
События Аг, А2, ..., Ап называются единственно возможными, если при данном испытании одно из них (но неизвестно — какое) обязательно должно произойти. Очевидно, сумма всех единственно возможных событий есть событие достоверное. События Alt Л2, ..., А„ называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление любого из остальных. Очевидно, произведение всех несовместимых событий есть событие невозможное. Два случайных события называются равновозможными или равновероятными, если нет никаких оснований ожидать, что при испытаниях одно из них будет появляться чаще другого. Например, выпадение герба и решки при бросании монеты—равновозможные события. Несколько событий называются равновозможными, если каждые два из них равновозможны.
5. Вероятность случайного события есть количественная мера ожидаемой возможности его появления. Для введения этой меры рассмотрим сначала п единственно возможных, несовместимых и равновозможных событий Ль Л2, ..., А„. Вероятностью каждого из них называют дробь г/п. Например, если в урне лежат 100 тщательно перемешанных одинаковых занумерованных шаров, то вероятность вынуть наугад шар с номером 1 равна Vino-
Распространим теперь понятие вероятности на случай, когда единственно возможные и несовместимые события Ль Л2, ..., Л„ не равновозможны, но могут быть представлены в виде суммы равновозможных событий, представляющих их частные случаи. Пусть, например, событие Л г разложено на т,- единственно возможных несовместимых и равновозможных событий Ац, Л,-2, ..., Aim.. Очевидно, все события Аи, А.......Ап1, Л„2, ..., АтПп будут единственно воз-
можны, несовместимы и равновозможны. Вероятностью события Л( называют дробь
Р(Л,) = ——:------------. (70.1)
тх-\-т2 + ... + тп v '
Условимся называть события Ап, Л/2.......... Aim., при которых
236
СТЛТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
наступает событие Ah благоприятными случаями для А;. Тогда определение вероятности, данное выше, можно формулировать следующим образом. Вероятностью события называется отношение числа равновозможных случаев, благоприятных этому событию, к числу всех равновозможных случаев, которые могут встретиться при испытании.
Достоверное и невозможное события можно рассматривать как предельные случаи случайных событий. Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события — нулю.
Пример 1. В урне лежат 100 тщательно перемешанных шаров, отличающихся друг от друга только цветом: 30 белых, 25 красных и 45 зеленых. Какова вероятность вынуть белый шар? Число равновозможных случаев, которые могут встретиться при испытании, равно 30 + 25 + 45 = 100. Число равновозможных случаев, благоприятных выниманию белого шара, есть 30. Поэтому вероятность вынуть белый шар будет Р(,ел— 30/100 = 3/10. Аналогично, для красных и зеленых шаров Ркр = 25/100 = 1/4, Рзел = 45/100 — 9/20.
6. Определение вероятности (70.1) предполагает, что еще до испытания имеются какие-то основания (например, соображения симметрии, однородности и пр.) оценивать равновозможность событий, а также представлять события в виде сумм равновозможных событий. Поэтому так определенную вероятность называют априорной вероятностью, т. е. такой вероятностью, о которой мы судим до опыта. Судить о равновозможности событий, даже в простейших случаях, не так легко, как это может показаться на первый взгляд. Приведем пример.
Пр и м е р 2. Монета бросается два раза. Какова вероятность того, что при двух бросаниях по крайней мере один раз выпадает герб? Равновозможных случаев, которые могут представиться при таком испытании (т. е. при двух бросаниях), четыре, а именно:
1) герб герб,
2) герб решка, /д*
3) решка герб, ‘ '
4) решка решка.
Из них первые три благоприятны рассматриваемому событию — появлению герба по крайней мере один раз. Поэтому искомая вероятность a/i. Даламбер (1717—1783) оспаривал этот результат. Он писал, что если при первом бросании выпал герб, то второе бросание становится ненужным, так как и без того ясно, что мы имеем дело с благоприятным случаем. Поэтому вместо четырех различных возможностей, перечисленных выше, Даламбер берет только три, а именно:
1) герб,
2) решка, герб, (А')
3) решка, решка.
Из них благоприятных два, и искомая вероятность, по Даламберу, равна 2/э. Аналогично дело обстоит и при трех бросаниях. Какова вероятность того, что
§ 70] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
237
при трех бросаниях монеты появится герб, по крайней мере один раз? Равно-возможных случаев всего восемь:
Благоприятных случаев семь, и искомая вероятность равна 7,'е. По Даламберу же появление герба делает дальнейшие бросания уже ненужными, а потому он перечисляет только четыре различных случая, а именно:
Из них благоприятных три, и искомая вероятность, по Даламберу, равна 3/4. Ошибка Даламбера состоит в том, что случаи (А'), а также (В') он принял за равновозможные, тогда как в действительности они не являются таковыми.
7. Если пользоваться одним только определением вероятности (70.1), то вычисление вероятности в каждом конкретном случае требует разложения событий на равновозможные. Необходимость этого устраняется основными теоремами теории вероятностей, известными под названием теоремы сложения и теоремы умножения вероятностей.
