Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Проверим решение непосредственным подсчетом равновозможных случаев. Единственно возможные, несовместимые и равновозможные события в рассматриваемом примере изобразим таблицей
т+1> ¦ •
•, с,
P(A)P(B/A)=^L==L=P{AB),
Р(АВ) = Р(В)Р(А/В).
(70.5)
Р(АВ) = Р(А)Р(В),
(70.6)
12 21 31 41
13 23 32 42
14 24 34 43
240
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
Здесь первая цифра означает номер шара при первом вынимании, а вторая — при втором. Число всех равновозможных случаев двенадцать. Из них благоприятных искомому событию — два, а именно 12 и 21 (эти случаи подчеркнуты). Искомая вероятность есть а/12 = Vo-
Изменим теперь постановку задачи. Вынув шар и определив его номер, положим его обратно в урну и все шары тщательно перемешаем. Второе вынимание производим, следовательно, при таких же условиях, т. е. при том же количестве шаров в урне, что и первое. Теперь события А и В становятся независимыми. Вероятность Р (Л) останется прежней, т. с. равной Ч2- Найдем Р (В). Если при первом вынимании появился шар с номером 1 (2), то событие В состоит в том, что при втором вынимании должен появиться шар с номером 2(1). В ероятность этого события Р (В) = 1/4. Таким образом, по теореме умножения вероятностей Р (АВ) — Р (Л) Р (В) = 1 2 л '4 = Vs- В правильности результата нетрудно убедиться также, написав все равновозможные случаи, которые могут встретиться, а именно: ,, 2, 3, 41
12 22 32 42
13 23 33 43
14 24 34 44
Благоприятные случаи подчеркнуты.
9. Определение апрнорной вероятности может встретить и принципиальные трудности. Допустим, например, что бросается игральная кость, грани которой занумерованы цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Если кость совершенно однородна и имеет форму идеально правильного куба, то появления всех этих шести цифр при броса-нни будут равновозможными событиями. Но если кость неоднородна или не является правильным кубом, то этого уже не будет. Тогда хотя понятие вероятности и сохраняет смысл, однако трудно представить себе, как в этом случае различные события можно разложить на равновозможные. Надо указать какой-то другой способ, с помощью которого можно было бы, хотя бы принципиально, найти вероятность и в указанном случае. Один из способов состоит в следующем.
Допустим, что игральная кость бросается п раз и при этом грань с номером 1 выпала /г, раз. Отношение vl = ti1/ti называется относительной частотой появления рассматриваемого события. Опыт показывает, и в этом проявляется статистическая закономерность, что при неограниченном возрастании п относительная частота стремится к вполне определенному пределу. Априори ясно, что в случае идеальной игральной кости этот предел должен быть равен 1/е, т. е. вероятности рассматриваемого события, как она была определена выше. Поэтому представляется естественным и в общем случае определить вероятность события с помощью соотношения
Pj= lim Vjeeee lim ¦. (70.7)
n—> CO n-*OO ^
Конечно, применимость этого определения не ограничивается случаем бросания игральной кости. Оно распространяется без всяких
§ 70] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
241
изменений на все случаи, когда в результате испытаний получается конечное число различных возможностей.
10. Существует еще одна интерпретация вероятности, применяющаяся в физике, вполне аналогичная (70.7). Поясним ее на простейшем примере. Пусть в закрытом сосуде имеется одна молекула. Сталкиваясь со стенками (имеющими молекулярную структуру), молекула претерпевает беспорядочные отражения от них, следующие друг за другом. При этом она побывает в различных местах сосуда. Выделим мысленно в сосуде какой-либо неподвижный объем и. Как определить вероятность нахождения молекулы в этом объеме? С этой целью будем наблюдать за молекулой в течение длительного времени Т. Пусть часть времени t молекула проводит в объеме и. Отношение t/Т называется относительным временем пребывания молекулы в объеме v. Предел этого отношения
Р=Пш^ (70.8)
Т —у со
и есть вероятность нахождения молекулы в объеме и. Статистическая закономерность проявляется опять в том, что предел (70.8) существует, как это показывает опыт.
11. Важными понятиями в теории вероятностей и ее приложениях являются понятия среднего значения и математического ожидания. Разъясним эти понятия на конкретном примере. Пусть произведено N однотипных измерений одной и той же величины а при неизменных условиях. Пусть в пг случаях измеренное значение величины а оказалось равным alt в щ случаях — а3, ..., в пт случаях — ат (пг + п2 +... +пт = N). Среднее значение измеряемой величины определяется выражением
{а) = пл+^р^ + п^ = Vifli + _ + (709)
Допустим для простоты, что никаких других результатов, кроме аъ а2, ..., ат, при измерениях появиться не может, так что эти результаты являются единственно возможными и несовместимыми. Тогда, если неограниченно увеличивать число измерений N, то частоты Vj, v2, ..., v„, перейдут в свои предельные значения Ръ Р2, ..., Рт — вероятности появления при измерениях значений аъ а2..... ат. Выражение (70.9) при этом переходит в
Мож а = Piаг + Р2а2 -f-... + Ртат. (70.10)
