Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика" -> 112

Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика — Физматлит, 1970. — 565 c.
Скачать (прямая ссылка): obshiykurstermodinamika1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 240 >> Следующая

2. Назовем ради краткости попадания молекулы в скоростные интервалы (vx, vx + dvx), (vy, vy + dvy), (vz, vz + dvz), о которых шла речь выше, событиями А, В, С соответственно. Определим вероятность / (©) с/со того, что молекула попадает в элемент объема скоростного пространства dto = dvx dvy dvz. Такое попадание есть
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ МАКСВЕЛЛА
251
сложное событие, являющееся произведением событий А, В, С. Его вероятность можно определить по теореме умножения вероятностей. Для этого надо вероятность события А умножить на условную вероятность события В при условии, что событие А произошло, а затем результат умножить на условную вероятность события С прн условии, что произошли события А и В. Максвелл ввел предположение, что события А, В, С независимы. Тогда указание условий при которых должны вычисляться вероятности событий В и С, становится не нужным, и теорему умножения вероятностей можно применять в ее простейшей форме, какую она принимает для независимых событий. Это предположение, а с ним н первый вывод закона распределения скоростей, данный Максвеллом, подверглись критике со стороны некоторых математиков и физиков. Указывалось, в частности, что скорости молекул после столкновения не могут быть независимыми от их скоростей до столкновения, поскольку эти скорости связаны между собой законами сохранения энергии и импульса. Однако дальнейшие исследования самого Максвелла, Больцмана и других ученых показали, что предположение Максвелла правильно, хотя и нуждается в обосновании. Мы примем его пока без обоснований. По сравнению с другими доказательствами, данными самим Максвеллом, а затем Больцманом, первое доказательство Максвелла обладает тем преимуществом, что оно не вводит никаких специальных представлений относительно структуры молекул и сил взаимодействия между ними. Поэтому оно применимо не только к газам, но и к жидкостям и к твердым телам. Требуется только выполнение условия (71.7), чтобы задачу о распределении скоростей молекул можно было трактовать классически.
Итак, мы принимаем, что вероятность того, что скоростная точка молекулы одновременно окажется внутри трех интервалов (vx, vx + dvx), (v,„ vy + dvy), (y,, vz + dv,), должна выражаться произведением
Ф (V.v) ф ю ф (У.Л dvx dv,, dv,.
Но для той же вероятности мы писали / (©) dco, где dco = dvx dv!t dv?. Сравнивая оба выражения, находим, что функция распределения / (v) должна иметь вид
/ (®) = Ф Ш ф (vy) ф (и*). (72.1)
3. Положительные и отрицательные направления координатных осей в газе совершенно эквивалентны. Поэтому должно быть Ф (vx) = ф (— vx). Значит, функция ф может зависеть только от модуля или, что то же самое, от квадрата скорости vx. Точно так же, ввиду изотропии газа функция f может зависеть только от квадрата полной скорости v, но не от ее направления. Вместо квадратов скоростей удобнее взять в качестве аргументов соответствующие кинетические энергии: ех = 1/.,mvl, e;J = 1/.,mv'fJ, ъг — ljznw\,
252
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
є = '/.ті? = ел. + + єг. При переходе к новым аргументам
сами функции условимся обозначать прежними буквами ф и f, хотя это — аналитически совсем другие функции. Уравнение (72.1) запишется в виде
ф (ЄЛ) ф (є,,) Ф (ег) = / (є* + Гу + ег), (72.2)
причем оно справедливо, каковы бы ни были (положительные) значения аргументов ех, еу, ег.
4. Функциональным уравнением (72.2) и определится вид функции Ф, а с ней и функции /. Действительно, рассмотрим такие изменения аргументов ех, е,,, ег, которые удовлетворяют двум условиям: 1) ег — const, 2) єЛ. + Еи = const. При таких условиях уравнение (72.2) все еще остается верным. Из него следует, что
Ф (e.v) ф (бу) = const
при условии
Ех Єу - COnst.
Логарифмируя, а затем дифференцируя первое соотношение, получим
при условии Отсюда
Ч (Чх) , , Ч (?у)
—j-г- аєх + —. . ає,, = О фЫ ф (є<у)
d.Ex + dsy = 0.
ч' (єд) ср' (еу)
Ч (e.v) ф(е,,)
При выводе предполагалось, что изменения аргументов ех и eu связаны условием e.v + є,у = С = const. Однако значения постоянной С, а с ней и аргументов ех и еу могут быть какими угодно. Поэтому условие ех - Еу = const фактически не накладывает никаких ограничений на значения, которые могут принимать аргументы є,., и е,,. Значит, в предыдущем соотношении ех и Еу могут независимо принимать любые значения. Но слева стоит функция только ех, а справа — только еу. Равенство между ними возможно тогда
ф' (є*) <р' (є,,)
и только тогда, когда отношения —-—- и —~ равны одной и
Ч (Єд) ф (е„) 1 той же постоянной. Обозначив эту постоянную — а, получим
ф' (вд) ф' (еу)
Ф (Ед) ~ ф (е.у)
ИЛИ
^ф(Вд-)
-а,
/ Ч -- Й (ІЬда
ф (f.v)
Интегрирование дает
ф(Бд)-=Лге аЧ ф {Еу) = А1е~аеи, ф (Ег) = Лі*Г“Ч (72.3)
§ 72] ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ МАКСВЕЛЛА 253
где Л, — новая постоянная, значение которой будет определено ниже. Что касается постоянной а, то она должна быть положительной, так как в противном случае ф (ед.) неограниченно возрастала бы при неограниченном возрастании кинетической энергии ел., что физически невозможно.
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 240 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed