Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
несколько замечательных вселенных, в которых тензор Римана Rijkm не равен
нулю, хотя они и пусты (Pi3- = 0).
2) Для нахождения тензора энергии, соответствующего какой-либо заданной
метрике, мы обычно пользовались формулой хТi;' = -Gjj. Однако если мы
предпочитаем
(8.149)
а < 0.
(8.150)
(8.151)
а < 0, с < 0, -|- ас < Ь2 < 4ас.
(8.152)
Ф = a (dx1)2 + 2Ьеш dx1 dx2 + ce2kx* (dx2)2 + (dx3)2 + (dx*)2,
(8.153)
(8.154)
x1 = x1 + Av x2 = x2e~hB + A2,
x3 = x3 + /43, x* = x* + B,
(8.155)
b2 = 2 ac,
(8.156)
откуда следует, что
(8.157)
286
Гл. VIII. Некоторые специальные пространства
Если не накладывать ограничения (8.156), то в (8.153) будут входить
четыре постоянные, однако существенными окажутся лишь две из них* ибо
если выполнить преобразование
Ф = k~2 [ - (dx1)2 - 2X(*i dx1 dx2 - -J- e2** (dx2)2 + (dx3)2 + (dx*)2 ]
, (8.159)
Если теперь учесть (8.156), то получим Я,2=1, и (8.159) (за исключением
тривиального различия в обозначениях) переходит в метрику Геделя [399] V
Мы сочли целесообразным проделать постепенный спуск от формы (8.119)
(допускающей 2-параметрическую группу движений) к форме Геделя, поскольку
в процессе этого спуска обнаруживаются такие формулы, как (8.133),
которые достаточно компактны, чтобы их можно было использовать при
построении моделей пространства -времени.
По определению статическое пространство - время имеет метрическую форму
Ф = gc^dxadx^ + g44 (dx*)2 (g44 < 0), (8.161)
коэффициенты которой не зависят от х*. Геометрия пространства - времени в
этом случае складывается из геометрии трехмерного пространства с
метрическим тензором gap = gap и функции g44 пространственных координат
ха. Мы будем обозначать черточкой субтензоры и другие величины,
относящиеся к трехмерному пространству. Итак, вводя для удобства функцию
V, мы имеем
В процессе вычислений выясняется, что при наличии одного индекса "4" или
трех таковых соответствующий член обращается в нуль. С помощью (1.85) мы
находим вид тензора Римана
использовать космологическую константу Л, мы записываем xTij = Agij-G4j
и, следовательно, получаем другой тензор энергии. Если в предыдущей
модели мы выберем A = V2fe2, то из (8.157) получим жидкость с плотностью
p = fea и давлением р = 0.
9 В этой статье перечислено и доказано большое число интересных свойств
этой метрики.
2) Изучение такого рода пространств с новой точки зрения см. в книге
Петрова ]903], § 48.-Прим. ред.
(8.158)
где
(8.160)
§ 5. Статические пространства2)
ёа з - б<*3> gai - 0, ёа-
ёа*ёаА = о, ^=-у~2,
(8.162)
[оф, у] = [сф,у], [4а,4] = - [44,а] = - VV,
г2р = г2р, Yik = v~lv,at r?4=iafVvv
(8.163)
§ 5. Статические пространства
287
где две вертикальные черты означают ковариантное дифференцирование в
пространстве относительно gap- Для тензора Риччи имеем
= Rafi + -J g44 (g44||o0 - = Ra$ + У~ХУ||ар,
! j ' (8-164)
Rai - О, RM - Y &гЕи -4" - - ^^2^>
где операторы Ах и Д2 определяются соотношениями
Д1ф=^.Рфафр> А2ф = ^фцар. (8.165)
Таким образом, Д2 оказывается оператором Лапласа в искривленном
пространстве. Следовательно,
Я" = Я + у-1Д2у, Я4 = у-1Д2у,
R=R + 2V~1A3V.
Для тензора Эйнштейна получаем следующие формулы:
Gap = Rap 2 ?(x&R> Ga.'k = 0, Git = -у V2R,
= = -±R-2V~1AiV,
Gi = R[-YR~ -y*'
G\-Gl = 2V' A2V.
(8.166)
(8.167)
Наибольший интерес здесь представляет оператор Д2; поскольку он позволяет
связать поверхностный интеграл и интеграл по объему. Пусть
v3 - область пространства, ограниченная замкнутой поверхностью о2,
a dv j и dv2 означают соответственно объем и площадь. Тогда в силу
теоремы Грина
? V,в л* do* = J Д2V dv3 = ^ (GJ - GS) V dv3, (8.168)
ti2 v3 1>з
где па - выходящая единичная нормаль к о2.
До сих пор мы занимались лишь вычислениями для метрической формы (8.
161). Уравнения поля не использовались. Введем теперь в рассмотрение
уравнения поля, полагая Gij= -х Tijt х = 8л. Из (8.168) сразу же следует,
что если v2 целиком расположена в вакууме и может быть стянута в точку,
не встречаясь с материей, то
§V,anadv2 = 6. (8.169)
о2
Следовательно, этот интеграл имеет одно и то же значение для любых двух
поверхностей, которые можно совместить одну с другой посредством
соответствующих деформаций, не приводящих к пересечению с материей.
Статичность пространства предполагает наличие лишь одного тела (см. § I)
и в этом случае снова можно выделить внутреннюю область I и внешнюю
288
Гл. VIII. Некоторые специальные пространства
область Е. Тогда (8.168) приводит к теореме Гаусса для статического
пространства^) (Уиттекер [1387]):
^ V, апа dva = 4ят, (8.170)
где v2 - некоторая поверхность, ограничивающая тело, am - константа,
характеризующая тело, а именно,
m=*-\(Tt-1%Vdvз, (8.171)
где интеграл берется по объему тела.
В вакуумной части статического поля уравнения поля гласят:
^a3 + V'1V||a3 = 0, Д2У = 0. (8.172)
Отметим, что пространство имеет нулевую скалярную кривизну R.
В § 1 было показано, как обращаться со статическим аксиально симметричным
