Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
наблюдателя и источника; С образует /-ось, а С'- соответственно /-линию с
псевдорасстоянием г. При физической интерпретации мы поместим наблюдателя
на Солнце1), а источник - в удаленной галактике. Фиг. 76 была очень
сходна с фиг. 81, однако в то время как первая играла лишь
вспомогательную роль, помогающую геометрически мыслить, вторая
представляет собой шкалу, снабженную изотропными линиями, наклоненными к
С и С' под углом 45°.
На фиг. 82 линии Р'Р и Q'Q - соседние траектории двух фотонов. Если / и
/' -значения в точках Р и Р' соответственно, то в силу (8.78) имеем
____________ г - t - /' (8.79)
*) Гравитационное поле Солнца не учитывается. Принимая (8.69), мы
"размазали" материю равномерно по всему пространству. Этот прием при
рассмотрении такого рода космологических проблем широко используется.
18*
276
Гл. VIII. Некоторые специальные пространства
и, переходя к Q'Q,
dt = dt', (8.80)
где dt относится к PQ, a dt'- к P'Q'. В силу (8.73) соответствующие
приращения собственного времени даются как
ds = a(t)dt, ds' - a(t')dt', (8.81)
и из формулы (3.52) для спектрального смещения получаем
у'-у rfs-ris' _ . CO(f') ,
V' ds Ш(/)* (8.82)
Таким образом, метрическая форма (8.69) приводит к красному смещению в
предположении, что to (t) - возрастающая функция.
Теперь следует выяснить, как зависит красное смещение от удаленности
источника. Для этого необходимо определить понятие "расстояния", так
как вряд ли мы можем приписывать физический смысл псевдорасстоянию г.
На фиг. 82, относящейся к подпространству Е3, показаны источник (в точке
С), излучающий однородно во всех направлениях с интенсивностью /'.
Последнее означает, что общая энергия, излученная за собственное время
ds', равна I'ds'. В точке С имеется приемник или наблюдатель. Точки С и
С' на фиг. 82 представляют собой проекции на Е3 линий С и С',
изображенных на фиг. 81. Энергия I'ds', разумеет-Ф и г. 82. Сферический
СЯ( вычисляется относительно мировой линии С'. слой излучения из точки С
. Энергия фотона с 4-импульсом р1 относи-
тельно мировой линии наблюдателя, имеющего 4-скорость V1, равна Е = -
p'V^ Нам понадобятся лишь /-линии, так что V*- единственная компонента
к1, отличная от нуля, причем
V* = e>-\ V4= - to. (8.83)
В общем случае 4-импульс фотона можно записать в,виде
= (8.84)
где w - канонический параметр на мировой линии фотона, а а - постоянная,
зависящая от выбора w и характера рассматриваемых фотонов. В нашей задаче
в силу (8.78)
= = ^ (8-85>
и, следовательно, энергия фотона определяется как
Е = -. (8.86)
0) 4
Но по предположению to (/) - функция возрастающая, следовательно, фотон
непрерывно теряет энергию относительно локальной /-линии. По мере того
как он проходит расстояние от точки испускания С' до точки поглощения С,
его энергия уменьшается в соответствии с формулой
(Djn_ /8 87ч
?' со (/) • v 4
Это служит подтверждением уже найденного в (8.82) красного смещения,
которое получено здесь другим методом. Так как только поток
энергии
I'ds', излученный в момент /' в точке С', достигает С в момент
времени /,
он распределяется (см. фиг. 82) в бесконечно тонком сферическом слое
§ 3. Космологическое красное смещение
277
и, согласно (8.87), полная энергия слоя равна
rds'^W' (8-88)
т. е. сумме локальных значений энергии, взятой по всей сфере.
В точке С наблюдатель устанавливает мишень (в действительности объектив
телескопа} для улавливания радиации. Если dS - площадь мишени
(инвариантная), a ds - приращение собственного времени наблюдателя от
начала и до конца вспышки, то для полученной им полной энергии можно
записать
JdSds, (8.89)
где У- интенсивность приходящей радиации.
Теперь псевдорадиус сферы и ее инвариантная площадь определяются
формулами
г - t - t', dS = 4jtr2[o)(/)]2 (8-90)
и, следовательно, С улавливает своей мишенью часть полной энергии
сферического слоя:
4я/-2[со(/)]2 • (8.91)
Таким образом,
Jd&b-r&gL-(8.92)
Но, согласно .(8.82),
ds' = ds^ (8.93)
и, значит, принятая интенсивность
Г [о)(/*)]а
4ял2 [о)(/)]4 ' (8.94)
г - t - t'.
Отношение JII', следовательно, одинаково для всех источников различной
яркости на одинаковом псевдорасстоянии г, и мы можем определить
астрономическое расстояние1) г0 с помощью формулы
. <8'95>
в которой для плоского пространства - времени г0= г. Если мы, как это
делают астрономы, предположим, что во всей Вселенной звезды имеют
одинаковую собственную светимость /', то измерение интенсивности J,
принятой от такой звезды, определяет астрономическое расстояние г0 до
этой звезды и до каких-либо других звезд, если известно, что последние
близки к данной. В терминах г0 формула (8.94) гласит:
= (8-96)
Обозначая, как и в (8.82), красное смещение через Q, имеем
<8-97>
Это уравнение и уравнение (8.96) являются основными. В них слева стоят
наблюдаемые, а справа - теоретические конструкции. Если наблюдение дает
связь между Q и г0, то эти уравнения приводят к
функциональному
4) Его называют еще световым расстоянием. Наш случай-
