Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
произвольная точка в регулярной области (9.17), а (9.35) определяет
преобразование (хг/)->(Х(а)). Легко проверить, что
где штрихи над Р п Q означают, что значения последних взяты в точ-
Построим теперь объемную гравитационную волну частного вида, показав
таким образом, что программа, описанная в § 1, действительно вполне
осуществима. В основе анализа этого примера не лежат никакие специальные
соображения, кроме простоты.
, 1 i4(i l)2e-*P , 1 |4(ЕТе'2<г
+ 2 1\ + 2 II
(9.32)
1 1Ч11)-е-*Р , 1 g4(i2)2e-3<?
2 I\ 2 1\
(9.33)
Ф = e2P(dx1)2 + e2%dx2)2 + 2 dxadx\
(9.34)
Х(1) = - ml1 С*4' + "), *(2, = - nl\x" + Р),
+ xw = - /2 [ Is + ±т2 (?)* (х4' + а) + (х4' + Р) ].
<*) ~
(9.35)
= е2Р' (dx1')2 + е*2' (dx2,)2 + 2dx3'dx4',
(9.36)
§ 3. Плоская гравитационная волна специального вида и замечания о
цилиндрических и сферических волнах
296
Гл. IX. Гравитационные волны
Пусть 2! и 2г задаются соответственно уравнениямих = -а и х - а (мы будем
писать х вместо а;4). Тогда область II определяется неравенством - а<х<а,
и в ней мы удовлетворим (9.18), требуя, чтобы Р и Q удовлетворяли
уравнениям
Р" + Р'2=-Г2, ?* + ?'* = ft-2, к=~. (9.37)
В качестве частного решения выбираем
- О -
к' 4 к'
р=in cos 4, q=4" (9-38>
так что
P'=_ft-4g4, Q' = k-\ Р"= - k~2 sec2 4> Q" = °-
(9.39)
Отсюда для значений на концах получим
21(х=-а): P = lny=, Q=-j,
P' = k~\ O' = кг1, (9.40)
P"=-2k~2, Q" - 0;
2 2(х = а): P = lny=, Q = -p
P'=-k-\ Q' = k-\ (9.41)
P"= -2k\ Q' = 0.
Теперь необходимо определить в областях / и III функции Р и Q в форме
(9.17), требуя . непрерывности этих функций и их первых производных на 2,
и 2г. Получаем;
В области I:
ер - ^ ^ (х -(- а + k), е(r) = е_1/4я. &_1(х -f а + k),
В области III: (9.42)
ер = ^ у __ (а + k - х), = ег^я ¦ krx(x - а 4-k) .
Итак, мы видим, что формальные сингулярности появляются в точках
х= -a - k в области /, х = а-Т& в области III. (9.43)
Таким образом, восстанавливая символ х4, мы получили гравитационную волну
со следующей метрикой;
В области I ( - а - &<х4< -а):
k~2(xi -J-a + k)2 ? ~ (dx1)2 -f e~V2*(dx2)2 J + 2dx3dx4.
В области II ( - a<x4<a):
cos2^ ^-^{dx1)2 + e2xi!h(dx2)2 + 2dx?dx?. (9.44)
В области 7/7 ('a<x4 < a + fc):
^к~2(х* - a - /cj2 (dx1)2 4- el^nk~2 (x* -a-^-k)2 (dx2)2 -J- 2dx3dxi.
§ 3. Гравитационная волна специального вида
297
Что касается оставшихся бесконечно протяженных частей плоских областей I
и III, то здесь, как и в (9.35), можно ввести новые координаты, для
которых метрика имеет форму Минковского. Применяя (9.35), следует брать в
областях I и III ту точку х1, которая фигурирует в (9.44).
Хотя рассмотренные нами гравитационные волны в математическом отношении и
безупречны, в физическом смысле они нереальны. В электромагнетизме
распространяющаяся область ("слой") возмущения, ограниченная двумя
невозмущенными областями, представляет собой разумную идеализацию
действительности, так как в этом случае возможно испускание импульсов в
невозмущенное пространство, которое после прохождения этого импульса
снова становится невозмущенным. Однако же человек, который может
размахивать дубинкой, не может создавать в ней материю. Он может изменять
гравитационные поля, но не создавать их из ничего. В наших моделях нужно
предпочитать случаи, когда волны возмущения распространяются в уже
существующих полях.
Это осложнение преодолено в случае цилиндрических волн1) (Эйнштейн и
Розен [303], Розен [1001 ], Мардер [695, 696], Боннор [76]). Для
метрической формы
ф = e2v-2-ф (dr2 - dt2) + + е2t*5 dz2, (9.45)
где у и ф - функции переменных г и уравнения для Ri} = 0 сводятся к
следующим:
Фгг + -7Фг-Фн = °, (9-46)
Vr = r № + $!). Yt = 2nMv (9.47)
Здесь (9.46) - обычное волновое уравнение в плоскости. Оно дает условие
интегрируемости (9,47). Вследствие линейности уравнения (9.46) можно
взять суперпозицию его решений (основное статическое поле и
возмущение,
зависящее от времени) и затем получить у из (9.47) в виде
квадратуры.
Однако цилиндрическая волна все же еще недостаточно реалистична. Интуиция
подсказывает, что поле раскачивающейся дубинки на больших расстояниях от
нее должно становиться сферически симметричным. Тем не менее некоторое
нарушение симметрии (своего рода поляризация) должно иметь место,
поскольку поле с идеальной сферической симметрией должно, согласно
теореме Биркгоффа (см. гл. VII, §4), быть статическим в том смысле, что
оно должно допускать группу движений вдоль временноподобных линий.
Пытаясь составить общее представление о гравитационных волнах,
обусловленных взмахами дубинки или колоссальной катастрофой
астрономического масштаба, следует иметь в виду, что здесь речь может
идти не о решении хорошо сформулированных математических проблем, а
скорее о классах полей, удовлетворяющих некоторым условиям. Чтобы более
четко сформулировать эти соображения, будем мыслить пространство - время
как евклидово четырехмерное пространство с координатами г, 0, Ф и t и с
