Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
пространства - времени.
Мы будем рассматривать только электромагнитные поля в вакууме "ли в
какой-нибудь некогерентной жидкости, все частицы которой несут
электрический заряд одинакового знака1). Тогда существуют следующие
функции пространственно-временных координат х1:
gij- симметричный метрический тензор;
Fy - кососимметричный электромагнитный тензор (Fif = -FH)\
J* - 4-ток;
u* - 4-скорость заряда, представленная единичным вектором (щи1--1); р -
собственная плотность электрического заряда;
|i - плотность массы.
*) Относительно более общих случаев см. работы Фам May 'Кана [912, 913,
915, 916, 918-921].
300
Гл. X. Электромагнетизм
Эти величины не независимы, поскольку
P = qu\ (10.1)
Другие дифференциальные соотношения будут введены ниже. Мы можем перейти
от заряженной жидкости к незаряженной, полагая Jl = 0, q = 0 и, наконец,
к вакууму, полагая р = 0.
Пусть -ортонормированный 4-репер, вектор которого Х'4) временноподобен и
направлен в будущее. Из F{j можно построить следующие инварианты:
F (аЬ) = F i^(a)^(b) = -F( Ьа)- (10.2)
Полагая
F(U)= Ei, F(2i) - Ег, F(3i) = E3, по^
/423) = #!, Fi3l) = H2, F(i2) - Н 3,
мы переходим к обычным физическим понятиям, называя Fa электрическим 3-
вектором, а На -магнитным 3-вектором1). Аналогично образуются инварианты
J{a) = J ityay (10.4)
Назовем /(а) 3-током, а /(4) - относительной электрической плотностью (не
следует смешивать последнюю с собственной плотностью р, которая также
является инвариантом, но более фундаментальным, поскольку она не зависит
от выбора 4-репера).
Тензор перестановок (1.114) также используется и в электромагнитной
теории. Полагая
<7=1^?, (Ю.5)
получаем следующие формулы (обратить внимание на знаки "минус"!):
г]iik* = q~1el}km, Ццчт=
4i;hmTliat>c= -eijftmei0bc= (10-6>
V,km4"be= - 2(6*6(tm)-6e*6(tm)> = -2бь(tm)>
Л*'Й"Ч/АС= -66(tm).
Мы уже встречались с шестийндексным обобщенным б-символом Кро-некера в
(1.122); четырехиндексный б-символ определяется аналогичным образом.
Важно помнить, что ковариантная производная тензора перестановок равна
нулю.
Дуальный электромагнитный тензор определяется одной из следующих
эквивалентных формул2):
ГЧ = ±^Fkm, F*l} = ±r\i}kmFkm . (Ю.7)
Умножая первое и второе выражения соответственно на т]^оЬ и rjljab,
используя (10.6) и меняя местами индексы, получаем
F" = -1 т,1 WjE(tm), Fif = - i (10'8>
*) Мы возвращаемся к обычному соглашению, принятому в книпе: греческие
индексы принимают значения 1, 2, 3.
2) В (5.63) звездочка используется в другом смысле; однако это не
должно при
водить к недоразумениям.
§ 1. Уравнения Максвелла и тензор электромагнитной энергии 301
Примем теперь уравнения Максвелла, записав их в виде1)
F?i = Jl, Fijik + Fjk, t + Fhi,, = 0. (10.9)
Интересно отметить, что второе из этих уравнений носит тензорный
характер, хотя входящие в него производные и являются частными. Однако
последние можно заменить ковариантными, и, как легко видеть, уравнения
Максвелла можно представить также и в виде2)
r{j = A = (10.10)
Для любого кососимметричного тензора X1' и произвольного вектора У* в
силу (1.8), (1.10), (1.12) имеем
Х% = q-' {ЯХ1%, У,1, = q-1 (qY1), ir Q
An = (X^'Oii = q'1 (<lX%), , = q-1 (qX1'), " = 0.
Таким образом, уравнения Максвелла можно представить еще и в следующей
форме:
(qFli)tj^qJ\ (^*i;),3 = 0, (10.12)
а 4-ток удовлетворяет уравнениям сохранения, которые можно записать в
одной из следующих форм3):
4 = 0, (qJi),i = 0. (10.13)
В силу второго из уравнений (10.9) существует вектор ср4, называемый 4-
потенциалом, такой, что
Fи = <Pj, t - "ft, j = <Pfli - ФИ/• (10.14)
После подстановки в первое уравнение (10.9) получаем
? <Pi - g"b9olib + Л = 0, (10.15) где ? - обобщенный даламбертиан,
? q>i=g"bq>iiab- (Ю.16)
В силу (1.94) имеем тождества
фарЬ фо|М -
"""фаЦЬ - (Ла\ь)ц = - Д"фУ.
Если наложить на ф4 условие нормировки4)
g"V|b = 0, (10.18)
то (10.17) даст
g"V|">= - Rty, (10.19)
и уравнение (10.15) примет вид
? Ф* + ЯоУ + Л = 0. (10.20)
Таким образом, уравнения Максвелла свелись к пяти уравнениям (10.18),
(10.20), но независимы из них лишь четыре.
*) Если использовать рациональные единицы заряда, то множитель 4я перед
J1 не появится.
2) Относительно деталей преобразования см. § 3 этой главы.
3) Величины qFli, qF*Li и qJl представляют собой тензорные плотности или
относительные тензоры веса 1 (Синг и Шилд [1190], стр. 240).
4) Определение <р4 с учетом (10.14) и (10.18) можно рассматривать как
проблему Коши.
302
Гл. X. Электромагнетизм
В вакууме Jt = 0, и, если пренебречь гравитационным эффектом
электромагнитного поля, Rtj = 0. В этом случае (10.20) сводится
к обоб-
щенному волновому уравнению:
? Ф4 = 0. (10.21)
Чтобы связать электромагнетизм и гравитацию, зададим тензор энергии
заряженной жидкости в следующем виде1):
Ti]' = \ш1и]' + Eij, (10.22)
где
Eii = glbFaiFbi-\giiFabFab. (Ю.23)
Этот тензор состоит из двух слагаемых: первое обязано материи, несущей
заряд, второе - только полю. Забегая вперед, заметим, что
