Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 144

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 211 >> Следующая

U фаа 2U аф0 = 0. (10.120)
При этом неожиданно обнаруживается замечательный факт: все восемь
уравнений в (10.118) - (10.120) будут удовлетворены, если положить1)
^=°- (10Л21>
Таким образом, существует очень простой способ строить поле
электровакуума: выбираем произвольную гармоническую функцию U, не имеющую
нулей во внешней области Е, и определяем ср по формуле (10.121). Чтобы
получить на бесконечности обычную плоскую метрику, следует так выбрать U,
чтобы на бесконечности U2 стремилось к нулю.
Допустим теперь, что внутренняя область / состоит из некоторого
числа отдельных частей: 1и /2, ... Вокруг какой-нибудь одной из них,
скажем 1Х, представим себе замкнутую поверхность Sx. Поскольку в Е 4-ток
J1 = 0, то в силу (10.93) существует некоторый интеграл по Slr не
меняющийся при деформировании в Е. Не заботясь о внутренней структуре 7lt
мы даем [в обозначениях (10.93)] естественное определение полного заряда
elt сосредоточенного внутри или на поверхности области /х:
e1=^E1div. (10.122)
Оперируя с этим интегралом, мы должны быть осторожными и отличать
физическую метрику
do2 = U2dx"dx* (10.123)
от плоской метрики
do\ - dxadxa. (10.124)
Рассмотрим интеграл (10.122). В силу (10.3)
?^(,4) =/^(^4), (10.125)
где Я,(*1)- внешняя единичная нормаль к Slf а Я,(4) -единичный вектор,
ориентированный в направлении времени. Вследствие (10.101) выражение для
Ех сводится к следующему:
?i = qa<D>44). (10.126)
Здесь единичные векторы, разумеется, являются единичными по
отношению к do. Таким образом, если па - внешняя нормаль к Slt
являю-
щаяся единичной по отношению к da0, то
^> = и' <10Л27>
Если dS - элемент площади относительно da0, то мы имеем d2v = U2dS, и
формула (10.122) приводит к следующему выражению для заряда, связанного с
/х:
ех = U2<pana dS= - --^ Uana dS. (10.128)
Si * л Si
Так как функция U по отношению к da0 является гармонической, последний
интеграл при деформации Slt очевидно, не меняется. Этот факт можно было
бы установить сразу, но нам нужно было связать этот интеграл с зарядом.
*) Заметим, что, поскольку UV = 1, это выражение для (р эквивалентно
(10.112) при А = В = 0.
§ 4. Пространства электровакуума
313
Чтобы завершить обсуждение модели электровакуума, нужно / снабдить
метрикой. Однако здесь этот вопрос мы обсуждать не будем.
Возьмем набор точек Plt Р2, ... и предположим, что / состоит из-
внутренних частей шаров, радиусы которых равны соответственно alt а2,
..., а центры расположены в упомянутых точках. Пусть Qi> 6г> • • • -
расстоя: ния (измеренные через da0) от некоторой произвольной точки Р до
этих центров. Положим
u<f>-e+7W(t+t+-")' '=±'- (10129>
Если отношения eja^ eja^, ... достаточно малы, то U будет гармонической
функцией, не обращающейся в нуль в Е. Потенциал будет иметь вид
Ф =----- е1 е -------' <10Л30>
*/4я+-^+-+•¦•
6i 62
а е1г е2, ... будут зарядами, связанными с упомянутыми шарами. Если в I
можно подходящим образом ввести метрику, то будем иметь набор заряженных
тел, находящихся в равновесии йри взаимодействии друг с другом. Интересно
отметить, что вследствие неопределенности е оказывается, что таким
зарядам соответствуют два различных поля. Если переменить знаки у е и у
всех зарядов, то метрика при этом не изменится, тогда как у
электрического поля переменится знак. Как отмечалось ранее, переход от
электричества к магнетизму не представляет никакой трудности, и мы могли
бы заменить (10.129) соответствующей формулой для системы магнитных
диполей. Настоящая теория покоится на том факте, что для специальной
конформно статической метрики (10.113) условие R = 0 приводит к тому, что
U оказывается гармонической функцией относительно плоской метрики do о-
Глава XI ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
§ 1. Кинематика волн в пространстве-времени
Рассмотрим оо1 трехмерных поверхностей в пространстве - времени '(фиг.
88). Они могут быть пространственноподобными, изотропными или
временноподобными. Мы понимаем под этим тот факт, что их нормали
временноподобны, изотропны или пространственноподобны соответственно. Эти
трехмерные поверхности мы будем называть трехмерными волнами,
или, кратко, волнами. Каждой волне сопоставим фазовый угол <р, монотонно
возрастающий при переходе от' волны к волне, так что сами волны можно
назвать фазовыми волнами. Те из них, для которых <р = 2пл., будут
называться гребнями. Волны, изображенные на фиг. 88, можно считать
гребнями.
Поскольку <р является функцией положения в пространстве - времени, можно
записать
/(*>=-й?*-
(11.1)
•Фиг. 88. Фазовые волны W и наблюдатель С.
так что уравнения волн будут иметь вид / (х) = = const; h - малая
универсальная постоянная, которую с математической точки зрения мы будем
считать бесконечно малой. Здесь можно было бы взять любую малую
постоянную, но, по определенным соображениям, желательно в качестве h
выбрать постоянную Планка. При переходе от гребня к гребню / (х) меняется
на величину
df=-h. (11.2)
Пусть С -временноподобная мировая линия наблюдателя, 4-скорость которого
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed