Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
gi,Eli = 8ig*bFaiFbi - FabFab = g^Ff^-g^F^F*. (10.24)
Меняя местами а и / в последнем члене, мы видим, что он взаимно
уничтожается с первым членом. Таким образом,
?"1 = 0, (10.25)
т. е. след смешанного тензора энергии электромагнитного поля равен нулю.
Запишем теперь обычные уравнения поля:
Gij=-v.Ti}, х = 8л, (10.26)
Последние (с точностью до координатных условий) образуют полную систему
уравнений для заряженной жидкости. Мы рассмотрим несколько ниже проблему
Коши для этой системы. Найдем прежде всего уравнения движения,
получающиеся из (10.26) с учетом тождества
= (10.27)
Из (10.23) следует, что
Е% = gabF%Fbi + 8аь^Р% -\ (10.28)
Отсюда, выполнив серию перестановок индексов с учетом первого урав-
нения (10.9), получим
Е% + РЧ} = gabFa ± gi}FabUrb = gi}Fbj[aFba -1 gVFwF* =
= ^giiFab (Faj\b - Fbl- FabV) = -jgi'Fab (Faj\b + Fib|" + Fbau). (10.29)
В силу второго уравнения (10.9) это выражение обращается в нуль. Таким
образом, использовав все уравнения Максвелла, имеем
Е%- -P'Jy (10.30)
Причина того, что (10.23) оказывается подходящим выражением для тензора
энергии поля, состоит в следующем: в вакууме дивергенция тензора (10.23)
равна нулю. Теперь из (10.27) получаем
(рЫ*ы% = Р57у, (10.31)
или
иг (|ш')ц + \iu\jU1 - Fi'Jj. (10.32)
Ч 4-скорость V *, которую определяют [см. (4.75)] как единичный
временноподоб-
ный собственный вектор тензора энергии, обеспечивает в данном случае
связь заряда с полем, и ее не следует смешивать с и', которая относится
только к заряду и не является собственным вектором тензора энергии
(10.22).
§ 2. Проблема Коши для некогерентной заряженной жидкости
зоа
Умно'жим (10.32) на uv Второй член при этом обратится в нуль, так как
и1иг = - 1, а правая часть обратится в нуль
вследствие кососимметричности Fl) и того обстоятельства,
что, согласно (10.1), направление и1
совпадает с направлением J1. Таким образом,
Ош')|у = 0, (10.33)
т. е. мы приходим к уравнению сохранения массы. Теперь (10.32) сводится к
уравнению
pi4"y = fi4-, (10.34)
или, через абсолютные производные вдоль ы-линии, -
^ = (Ю.35)
иначе говоря,
Запишем (10.13) в виде
(е"1)к=о. (Ю.37)
Это -уравнение сохранения заряда. "Уравнение (10.33) вместе с (10.37)
означает, что, если мы возьмем тонкую трубку из u-линий, поперечное
сечение которой равно о, то полная масса m = jia и полный заряд е = до в
процессе перемещения вдоль этой трубки сохраняются. Таким образом,
учитывая постоянство т и е для трубки, мы запишем (10.36) в следующем
виде:
т-^=еГ'иг (10.38)
Мы имеем дело с теорией непрерывного поля, в которой заряженная точечная
частица не имеет смысла. Однако коль скоро мы приняли гипотезы о
геодезических для незаряженной пробной частицы, можно рассматривать
(10.38) как уравнение движения заряженной пробной частицы с массой т,
зарядом е и 4-скоростью ы\ движущейся в данном
гравитационном поле gtj и электромагнитном поле Fij в
предположении, что сама
частица на поле не влияет. Фактически имеем здесь естественное обобщение
закона Хэвисайда -Лоренца для пондермоторной силы (Синг [1175], стр. 394)
на случай искривленного пространства - времени.
§ 2. Проблема Коши для некогерентной заряженной жидкости
Введем обозначения
Z^Gy + к Tijt v = f, (10.39)
где
Tij = vJiJ'j + 'EU'
Здесь тензор энергии (10.22) записан в несколько иной форме. Таким
образом, систему уравнений поля для некогерентной заряженной жидкости
можно представить в виде
Ztj = о, n=/f; F% = 0, QteHO, (10.41)
где последнее соотношение представляет собой четыре координатных условия.
(10.40)
304
Гл. X. Электромагнетизм
Число неизвестных, как видим, равно 21:
8ц> Fa> Ji> v- (10.42)
Число уравнений в (10.41) равно, 10 + 4-)-4 + 4 = 22, однако из них
только 21 независимы, если учесть тождество [см. (10.11)]
F%, = 0. (10.43)
Таким образом, с помощью простого подсчета мы убеждаемся, что (10.41)
является полной системой. Когда величины (10.42) найдены, другие величины
определяются по формулам:
Q = ( - J.Jiy\ и. = е-у., jx = vq2. (10.44)
Рассмотрим теперь проблему Коши (Лишнеровиц [671], стр. 55)*) для системы
(10.41). Выбирая в трехмерном пространстве х4 = 0 косоугольные гауссовы
координаты хг, мы имеем следующие координатные условия:
ga4, 4 = 0, ?44 =±1. (10.45)
Определим на гиперповерхности х4 = 0 в качестве данных Коши величины
gap, gap,4, ga 4, Fijt Jit V (10.46)
(определенные условия, которым они должны удовлетворять, мы приведем
несколько позже) и исследуем алгебраическую проблему разрешимости
уравнений (10.41) относительно
gaP.44, Fijt 4, JiA, v,4. (10.47)
Уравнения Zi} = 0 эквивалентны тому, что
и (7\,-4-gi/rE), (10.48)
где справа стоят величины, являющиеся данными Коши. Теперь величины
gap,44 входят только в эти уравнения, и, как и в (5.171), решение
неоднозначно, если ?44 = 0. Таким образом, изотропные поверхности
представляют собой ударные волны (характеристики). Это справедливо для
вакуума (/. = 0), и, следовательно, электромагнитные ударные волны в
