Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
полем в вакууме, представляющим собой частный случай (8.161). Сделаем
теперь другое упрощение метрики (8.161), полагая
Q> = U*dx?dx?-Vldt2, (8.173)
где U и V не зависят от t (= х4), Поскольку пространственная
метрика
конформно плоска, ее можно назвать конформно статической
метрикой.
С помощью непосредственного вычисления мы получаем (для простоты
обозначим частные производные индексами без запятой)
Ra$y6 - RafiyH ~ Г) + 6pY(7afs -- 6"у^3в Spot/ctv) -
2 (dabUpUу + бру^Лх^в &ayU$Ub - 634UaUy) -[- (байбру- ^Зй^ау) ^о^Лт" /g
^?офу4 = 0,
#4а34 = Ra443 = - VVafi + VU L (UaVp + UpVa) - V^_16ap[/0V0,
И
Ra.fi = U'1 (Uap + 6apU"a) - 2U~4JJJf + V-'Vat -- (UV)-1 (UaVfi + UfiVa)
+ (UVy^UaVc,
Ra 4 = 0, (8.175)
Ru= -U-*V(Voo + U-4JaVa),
R = 41/*" (Uaa - -I U-HJaUa) + 2U-W'1 (V00 + U-HJoVo).
Проделанные выше вычисления справедливы для любой комформно статической
метрики. Попытаемся удовлетворить уравнениям поля в вакууме Rf^j = 0.
Уравнения RM = 0 и /? = 0 требуют, чтобы U и V удовлетворяли двум
уравнениям:
Voo+U-1U"Vo = 0, иаа-\и-Юоиа = 0, (8.176)
последнее из которых эквивалентно уравнению
(/Z7)00 = O, (8.1771
г) В гл. VII, § 5, мы уже сталкивались с теоремой Гаусса в специальном
случае сферической симметрии. Константа т, фигурирующая в метрике
Шварцшильда (7.145), совпадает с величиной, определяемой формулой
(8.170); это легче всего видеть из формулы (8.179), приведенной ниже.
§ 5. Статические пространства
289
так что величина уТ7 должна быть гармонической функцией относительно
плоской метрики dx^dx?. Как только гармоническая функция выбрана, первое
уравнение в (8.176) определяет V; но отыскание конформно статического
поля в вакууме представляется в известной мере безнадежным, поскольку
требуется удовлетворить еще пяти уравнениям поля. Однако по крайней мере
одно решение все-таки существует, а именно внешнее поле Шварцшильда,
имеющее вид (7.145), поскольку с помощью преобразования
r=e0+t)! (8Л78)
эту метрическую форму можно привести к так называемому изотропному виду:
Ф = U2dxadxa - V2dt2,
f/ = (i + i)2, e2 = *"*"• (8Л79)
i
Легко проверить, что YU есть гармоническая функция, как и в формуле
(8.177). Заметим, что (V - 1)/(V+1)- также гармоническая
функция.
Обращаясь к формуле (8.175) и полагая UV-1, видим, что
для
формы
Ф = U4x*dx* - и~ЧР (8.180)
имеем компоненты
Яаэ = "ipt/-1 (Uoa - U-4JJUe) + 2U~*UJJ9,
Ra 4 = 0,
RU = U~* (Uaa-U 'UaUa),
R = 2LT3Uaa.
(8.181)
Напомним, что в гл. V, § 3 тензоры Римана, Риччи и Эйнштейна вычислены
для другой конформно статической метрики специального вида, а именно для
Ф = (1+ф) -(1-q>) dt2. (8.182)
Вопросы геометрической оптики в статическом пространстве -времени,
заполненном прозрачной средой, рассмотрены в гл. XI, § 4.
19 Дж. Л. Синг
Глава IX ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
§ 1. Плоские гравитационные волны
Прежде чем перейти к конкретному изучению вопроса о гравитационных
волнах, желательно уточнить смысл, который вкладывается в это понятие, а
для этого лучше начать не с формального определения, а с рассмотрения
одного занимательного примера.
Допустим, человек, стоящий на Земле, держит в руке тяжелую дубинку.
Сначала дубинка свисает в его руке вниз, так что ее свободный конец
обращен к Земле, но затем в какой-то момент времени человек быстро
поднимает ее над головой. Согласно любой теории гравитации, дубинка
создает гравитационное поле, каким бы незначительным оно ни было, и
описанное выше действие человека меняет это поле не только вблизи него
самого, но и во всей Вселенной. Согласно ньютоновской теории, этот эффект
мгновенно воспринимается на Луне, Солнце и в любой далекой туманности.
Поскольку мы ньютоновской теорией не занимаемся, незачем дискутировать и
абсурдность этого утверждения. Как релятивисты, хорошо знакомые с идеей о
том, что ни один каузальный эффект не может распространяться быстрее, чем
свет, и знающие (см. гл. V, § 7), что геометрическое место точек, в
которых существуют разрывы gij,km, представляет собой изотропную
гиперповерхность, мы должны предполагать, что изменение гравитационного
поля движущейся дубинки распространяется в пространстве со скоростью
света. Мы можем назвать это движущееся возмущение гравитационной волной.
Итак, исходя из самых общих соображений, следует рассматривать реальное
существование гравитационных волн, таким образом понимаемых, как нечто
самоочевидное.
Однако в одних случаях понятие волна1) связано с представлением о
периодическом процессе, а в других случаях нет, и это вносит известную
путаницу. В физике это недоразумение усугубляется в процессе применения
фурье-преобразований, позволяющих любое неповторяющееся возмущение
(единичную волну) разлагать в ряды периодических волновых функций с
полным спектром частот2).
Говоря о волнах, мы не будем настаивать на том, чтобы они были
обязательно периодическими. В гл. V, § 7 рассмотрены гравитационные
ударные волны. Можно было бы назвать эти ударные волны необъемными, чтобы
