Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 136

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 211 >> Следующая

Упростим теперь метрику (9.6), положив
gu = e2p. ?i2 = 0, g22 = e2C?, (9.12)
где Р и Q - произвольные функции х*. Тогда Rli3i = 0, а две оставшиеся
компоненты в (9.8) имеют вид
я 1414 =-(Р' + Р,2) е2Р. ' Я2424 = - (Q" + Q'2) *20, (9.13)
Ч Поскольку g**=0, 2Х и 22 представляют собой изотропные трехмерные
гипер-
поверхности. На языке физики такая гравитационная волна есть плоская
волна, рас-
пространяющаяся в ^-направлении [см. (9.7)] со скоростью света (d?/dt=l),
а) Если выполняются все равенства (9.10), то пространство - время
становится
полностью плоским и волны отсутствуют.
§ 2. Мировая функция для плоской гравитационной волны
293
где штрихи означают производные. Аналогично для (9.9)
Ru = P" + P'2 + Q" + Q'2-
(9.14)
Таким образом, чтобы построить гравитационную волну с метрической формой
0 = e2p(dx1)2 + e2Q(dx2)2 + 2dx3dxi (9.15)
в областях I и III, необходимо удовлетворить уравнениям
P" + P'2 = 0, Q" + Q'2 = 0, (9.16)
так что
Р = \пт(х* + а), Q = ln"(x4+P), (9.17)
где а, р, т и л -постоянные (различные в областях I и III), а в области
II нужно удовлетворить уравнению
Р" + Р'2 + Q" + Q'2 = 0, (9.18)
не заботясь о том, чтобы удовлетворялись оба уравнения (9.16). Поскольку
последнее уравнение можно представить в виде
P" + Q"= _/3'2_Q'2<0> (9.19)
Ф иг. 85. Направление внутрь гравитационной волны.
появляется интересное обстоятельство. Если изобразить (Р', Q') как
некоторую точку на плоскости (фиг. 85) и провести линии /*' +
+ Q' = const, то Точка (P',Q') движется так, что траектория ее движения
пересекает упомянутые выше линии в указанном на фиг. 85 направлении.
Таким образом, ни одно из решений (9.18) не может образовать замкнутой
кривой на плоскости. Это означает,
что периодическое поле не может иметь места. Конкретный пример
гравитационной волны будет рассмотрен в § 3.
§ 2. Мировая функция для плоской гравитационной волны и квазидекартовы
координаты
Приведенные ниже рассуждения будут полезны при приведении метрики плоской
гравитационной волны в областях I и III к регулярной форме, но они имеют
и более широкую область применения. Мы вычислим мировую функцию Q для
метрики вида (9.15), не накладывая вначале никаких ограничений на функции
P(xi) и Q(x*).
Для нахождения геодезических, соответствующих метрическому тензору
(9.15), запишем лагранжиан
F = -1 [е*Р (Dx1)2 + e2Q (Dx2)2 + 2Dx3Dx*],
где D = d/ds. Поскольку P и Q есть функции только х4 интеграла имеют вид
e^dx1 = a ^s, e2^dx2 = a2ds, dx4 = {J^ds,
где dj, oa и p - постоянные. Кроме того,
e2P (dx1)2 + e2Q (dx2)2 + 2dx3dx* = sds2,
где e ( = ± 1)-индикатор геодезической, по предположению , временно-
(9.20) то три первых
(9.21)
(9.22)
294
Гл. IX. Гравитационные волны
подобной или пространственноподобной. Следовательно,
dx1 = (кi1e~2pdx4, dx2 = f}a2e-2Qdx*, ds = fidx*, dx3 = y P2dx4 (e -
a\e~2P - a2e_2(3).
Рассмотрим геодезическую, соединяющую точки Л (х1) и А' (х"). Полагая
*4 *4
Е* = JC* - JC*', Д = ^ e~2pdx*, /2 = ^ е-20^4,
получаем
(9.23)
(9.24)
X*' X*'
I1 = Рах/ь Е2 = Р" 2/2,
Е"=| р2ее4 -1 ръ;/, -1 ?•";/" s=ре4.
Следовательно, и поэтому
?* =
4ер2Е4
2
1 (I1)3
2 /,
_L(ET 2 /,
(9.25)
(9.26)
(9.27)
i. eft2 ^ _1 Г Е3 + -- + - -1 2 Р + 2 /j + 2 /2 J •
Таким образом, мировая функция имеет вид
Q(АА') = i-es2 = 1 ер2(Е4)2 = [Р+ + МР?] . (9.28)
Перейдем теперь от координат х1 к квазидекартовым координатам (КД) Х(а),
определенным соотношениями (2.150). Выберем в точке А (фиг. 86)
ортонормированный 4-репер к\а) с временноподобной компонентой Я,'(4).
Тогда КД точки А' по отношению к Л в данном векторном базисе будут:
(9.29)
А
Х(в)= -Ц(ЛЛ')Я1
(о)>
где -частная производная от ?2 по л1 в точке Л. Вследствие (9.28) имеем1)
йа:
. Е2Е4
?2з = 14,
Й4 = |3
1 (Е1)2 , 1 (Е2)2 1 Е4(Е1)2*~2Р
Фиг. 86. Схема построения квазидекартовых координат точки А' относительно
векторного базиса в точке А.
2 /х 2 /г 2
1 Е4 (Е2)2 е~г0
2 /1
/!
(9.30)
где Р и Q взяты в точке Л. Возьмем в качестве ортонормированного 4-репера
(в'*, 0, 0, 0),
(0, e~Q, 0, 0),
С0 °' 7т ' 7Т>
(О*
(9.31)
(4 )*
V"*' V"
(о, о,-}=, -UY
V /2 ^ 2 У
!) Помня, что g34 = 1, легко проверить^ что основное уравнение 2Q =
gUQ|Q^ удовлетворяется [см. (2.20)].
§ 3. Гравитационная волна специального вида
295
В таком случае с помощью формулы (9.29) для КД точки А' (координаты xv
точки А' содержатся в |4 и /х, /2) получим
Чтобы убедиться в правильности этих формул, легко проверить, что
Вспомним, что все предшествующие формулы в этом параграфе справед ливы
для метрической формы
где на функции Р (х4) и Q (х4) не наложено никаких ограничений. Для гра-
ритационных волн функции Р и Q конечны в области II (см. фиг. 84) и в
примыкающих к ней частях областей I и III, но имеют формальные
сингулярности в других частях I и III. Однако области I и III плоски. , и
их метрики можно по отдельности привести к форме Минковского, подставляя
(9.17) в (9.32). При этом получаем
В этих формулах V имеет тот же смысл, что и в (9.24). Точка х1 -
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed