Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 145

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 211 >> Следующая

равна V1. Будем искать выражения для частоты волн и для их скорости,
причем и то и другое - относительно С.
Положим
Pi = f.i- 01-3)
Переход вдоль С от одного гребня к другому соответствует
смещению на dx1, или, иначе говоря, на временной интервал ds на С.
При
этом в силу (11.2)
ptdxl - PiV1 ds= - h (П.4)
и, следовательно, период x( = ds) и частота v(=1/t) равны
PiV1 v= -
(11.5)
§ 1. Кинематика волн в пространстве - времени
315
Эти величины инвариантны, но их значения зависят от выбора С. Заметим,
что
hv=-piVt, (П.6)
и, если ввести ортонормированный 4-репер А,*,,), вектор А,(4) которого
ориентирован по V1, то
/iv = - р(4) = р<4). (11.7)
Назовем- р1 4-вектором частоты волн. В формуле (11.1) был взят знак -
"минус", чтобы получить в формуле (11.7) со знаком "плюс".
В формулах (11.5) выражение для v может показаться бессмысленным:
конечная величина делится на бесконечно малую. Но фактически мы имеем
дело с волнами высокой частоты, так как это и есть обычное условие, при
котором геометрическая оптика имеет физический смысл.
Следует, однако, заметить, что кинематика,
¦изложенная в настоящем параграфе, не содержит чего-либо, присущего
исключительно оптике. Все приведенные здесь рассуждения в равной степени
применимы и к упругим, и к лю-•бым другим волнам высокой частоты.
Мы рассмотрели вопрос о частоте в первую очередь ввиду его простоты.
Однако в действительности более важным является вопрос о скорости, так
как в этом случае рассматривается одна единичная волна, и вопрос о фазе
отпадает. Пусть А (фиг. 89) будет точкой пересечения С с волной W.
Представим себе фиктивную частицу, движущуюся вместе с волной, так что ее
мировая линия лежит на W, которую мы определим с помощью уравнения f (х)
= const, как это было сделано выше. Пусть АВ (dx')-бесконечно малое
смещение на мировой линии этой частицы; N В (dl,1) ортогонален к С и AN =
ds. Тогда естественно определить скорость и' фиктивной частицы
относительно С с помощью соотношений
U'-NB ЪФ AN ' ds2 (11.8)
(Мы полагаем dxi = gijdx' и d%i = gi}d%i.)
По построению из фиг. 89 имеем (здесь, как и раньше, Pi = f,i)
ptdx* = 0, (11.9)
vW = 0 (11.10)
dt^dx^V'ds. (11.11)
Поскольку У4У* = -1, из (11.10) и (11.11) следует, что
ds= - V^dx1, (11.12)
и, следовательно, (11.11) принимает вид
dll = dx* + V'Vjdx1. (11.13)
Таким образом,
dl.dg = dxtdx1 + (Vidxy. (11.14)
С
А
Фиг. 89. Скорость волны W относительно наблюдателя С.
Это соотношение представляет собой теорему Пифагора, сформулированную с
учетом неопределенного характера метрики. В силу (11.8), (11.12)
316
Гл. XI. Геометрическая оптика
и (11.14) скорость фиктивной частицы определяется формулой
U''=l+W0?' <11Л5>
Анализ вопроса о том, что подразумевается под скоростью волны в
классической физике, наводит на мысль, что скорость волны (и) следует
определить как минимальное значение и' для всех фиктивных частиц,
движущихся вместе с волной. Таким образом, мы должны найти минимум
выражения (11.15) при дополнительном условии (11.9). В результате
получаем
йх{ = аУ1 + р{, (11.16)
где а -множитель Лагранжа (перед. р{ множитель опущен, поскольку в
(11.15) dx1 входят только в виде отношений). С помощью (11.9) получаем
a=-j$> <11Л7>
и из (11.16) следует
dx{dxl = а (р4У1 - а), V^dx' = ptVl - а. (11.18)
Тогда с помощью (11.15) мы получаем следующую формулу для квадрата
скорости волны относительно С:
и* = -['??-¦ (11.19)
PiVl-a 4 '
При рассмотрении волн обратная скорость и'1 имеет более фундаментальное
значение, чем скорость и. Для квадрата этой величины имеем
i = (П-20)
Эта инвариантная формула содержит только 4-скорость наблюдателя и 4-
вектор частоты. Но, как отмечалось выше, понятие частоты здесь
Фиг. 90. Волны W, векторы частот р1 и изотропный конус.
фактически не фигурирует: р% можно заменить на любой вектор,
ортогональный к волне.
Согласно формуле (11.20), обратная скорость больше или меньше единицы в
зависимости от того, является ли р1 временноподобным или
пространственноподобным. Таким образом, мы имеем следующую классификацию
волн, иллюстрируемую фиг. 90:
Волна Вектор частоты Скорость
Пространственнопо- добная Временноподобный (Pi Р1 < 0) и> 1
Изотропная Изотропный (рг р' =0) и=1
Временноподобиая Пространственноподобный (рг р<> 0) и<1
§ 2. Волны, лучи и фотоны в диспергирующей среде
317
Попросту говоря, и > 1 означает "быстрее света", а и < 1- "медленнее
света", однако эти выражения следует употреблять с большой осторожностью,
поскольку и сами рассматриваемые волны могут быть световыми волнами.
Более правильно было бы проводить сравнение с изотропным конусом, который
представляет основной тип ударной волны.
§ 2. Волны, лучи и фотоны в диспергирующей среде
Хотя излагаемая ниже теория имеет более широкие физические приложения, мы
будем пользоваться терминологией оптики. По существу, это физическая
копия (и вместе с тем интерпретация) гамильтоновой теории, изложенной в
гл. I, § 7, и теории характеристических многообразий (см. гл. V, § 7),
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed