Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 132

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 211 >> Следующая

Следовательно, отличные от нуля компоненты тензора Риччи и скалярная
кривизна имеют следующий вид:
Яц= g* Rallf+ g44 #4114 = '2>
#12 = g"P# al2P + g44 #4124 = | g44* (ф" + ^Ф'2) в*,
/?22 = gaP/?a22P + g44/?4224 = g44C [ Ф"+ ( 1 + ?)ф'а ] "*¦. (8.131)
#44 = ??<*Р#а44р = ф,,-Ь ^1 Ф'2,
/? = 2^4[фи+Г1-^-)ф'2].
(8.130)
§ 4. Пространства типа Геделя
283
Вычисляя тензор Эйнштейна с помощью соотношения
(8.132)
получаем следующие отличные от нуля компоненты:
Gii=-^44[*"+(l-|JV2] , Gi,= -bg" [l^+(i-^)^2] а*. Gn = cg" 4? ¦'•e**.
Озз=-^44
(8.133)
Здесь приведен тензор Эйнштейна для метрической формы
Ф = а(йх1)2+ 2be'tdx1dxl + се2^(йхг)2 + ёзз{^^)г + ?44(^х4)*> (8.134)
где до сих пор ни на функцию ф(х4), ни на постоянные а, Ь, с, g33 и g3i
не накладывалось никаких ограничений, кроме (8.125). В вычислениях
условия (8.128) или (8.129) фактически не использовались.
Так как Goa = 0, gaA = 0, то два собственных вектора G{j(Xl) и
соответствующие собственные значения 0 удовлетворяют уравнениям
Эти собственные векторы лежат в двумерном элементе, содержащем
параметрические линии хх и х2. Третий собственный вектор ориентирован в
направлении х8, а соответствующее собственное значение равно
направление четвертого собственного вектора совпадает с х4-направлени ем,
а собственное значение
Если выбрать функцию ф(х4) и фигурирующие здесь постоянные наугад, то
может случиться, что при'этом нарушатся условие для сигнатуры и условия,
связанные с (8.116) для положительной плотности и давления. Ситуация
достаточно сложна и, чтобы выполнить систематическое исследование,
необходимо выбрать какой-нибудь конкретный вид ф(х4). Один из возможных
выборов следующий:
(Gu - Ogn)^1 + (Gn - Ogfo)^-2- 0"
(Gji - (c)eki)^-1 (G22 =
A.8 = A,4 = 0.
(8.135)
(8.136)
(8.137)
(A, n = const).
(8.138)
Однако мы, следуя Геделю, сделаем еще более простой выбор:
ф = Ах4 (А = const).
(8.139)
284
Гл. VIII. Некоторые специальные пространства
Тогда 4|/ = &, il)'= 0, и (8.133) несколько упрощается:
gu=-W4(i--^), g12=-w4( 1-g-)**,
Gn = k*cg"^-eW, (8.140)
G33 = - Pgaag4* ( 1 - ^) -
G - - k2-
°44 - 4ct '
Теперь мы имеем
(8.141)
= 0, (8.143)
On _ Оц Ян Sl2
и, следовательно, в силу (8.135) первый собственный вектор направлен
вдоль х1, а соответствующее собственное значение
e1=_*V4(i--!?-)• (8Л42)
Направление второго собственного вектора не совпадает с х2, но мы все же
будем обозначать соответствующее ему собственное значение через 02.
Вследствие (8.135) второй собственный вектор удовлетворяет вековому
уравнению
откуда следует, что
%=-k2g^. (8.144)
В силу (8.136) и (8.137) два других собственных значения имеют вид
03= -^С1-?-)- (0-145)
04= -k2giiJ?r- (8-146)
Чтобы давление и плотность получились положительными, три собственных
значения должны быть отрицательными (с пространственноподобными
собственными векторами) и одно собственное значение -положительным (с
временноподобным собственным вектором). Так как 02 = 04, то их общее
собственное значение должно быть отрицательным, а собственные векторы
пространственноподобными. Таким образом, направление х* должно быть
пространственноподобным и, следовательно,
?" = ?44= 1, <*>0. (8.147)
Тогда из условия для сигнатуры (8.128) следует, что е=1, а,
следовательно,
1 0^
?ав=(0 j), (8.148)
т. е. возможен только первый вариант в (8.125). Теперь g33- +1 и это
означает, что х3-направление пространственноподобно. Следовательно, в
этом случае собственное значение соответствует давлению, и использо-
§ 4. Пространства типа Геделя
285
вание условия положительной определенности давления в (8.145) дает
Теперь мы имеем три пространственноподобных собственных вектора,
соответствующих 02, 03 и 04, тогда как оставшийся собственный вектор
должен быть временноподобен и ортогонален к этим трем. Однако он
ориентирован в направлении х1 и, следовательно,
Добавляя затем к (8.142) требование, чтобы плотность была положительной,
мы получаем
Но так как а - Ь2 - ас, то приведенные выше неравенства эквивалентны
следующим:
Подводя на данной ступени итог для случая Ф = kxi, мы можем утверждать,
что единственной допустимой формой типа (8.134) является следующая:
где а, b и с-произвольные постоянные, подчиняющиеся лишь неравенствам
(8.152); главные напряжения и плотность определяются формулами
причем напряжения отрицательны (положительное давление), а плотность-
положительна.
Метрическая форма (8.153) допускает 4-параметрическую группу движенийг),
ибо она не меняется при преобразованиях
где А и В - произвольные постоянные.
Чтобы давление получилось изотропным (S2 = S3 - S4 = - р), следует на
постоянные, входящие в (8.153), наложить ограничение следующего вида:
Этот результат с физической точки зрения представляется несколько
разочаровывающим, поскольку хотелось бы получить для р/ц малую
величину2).
*) Пространства, допускающие 3-параметрическую группу движений,
исследовал Тауб [1217] (ср. с книгой Мак-Витти [732]); он построил
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed