Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
реальность так же хорошо или лучше, чем более сложные модели].
§ 4. Пространства типа Геделя
При построении модели Вселенной мы выбираем метрическую форму gijdx'dx' и
подвергаем ее некоторой проверке. Во-первых, она должна иметь сигнатуру2)
+2. Во-вторых, следует исследовать знаки напряжений и плотности, ибо мы
требуем, чтобы напряжение было давлением, а не натяжением, а плотность
была положительной3). Поскольку здесь все определяется только знаками и
легко допустить ошибку, проделаем вновь (применив несколько иной метод)
опыт, описанный в гл. IV, § 6.
Чтобы получить давление, а не натяжение4) и положительную плотность р, мы
потребуем, чтобы характеристическое уравнение
det (G4i - 0^,) = 0 (8.116)
имело три отрицательных корня и один положительный. Этот положительный
корень равен хц( = 8лц)[ Далее, необходимо, чтобы единичный вектор V1 (4-
скорость), удовлетворяющий уравнению
GuVi = xKliVi, (8.117)
был временноподобным
_______________________________ (V*V*=-1).
') См. также книгу Толмана ([12701, стр. 415), где изложены результаты
для многих моделей Вселенной, в большинстве которых учитывается
космологическая константа.
г) Сигнатура квадратичной формы есть разность двух чисел, одно из которых
представляет собой число положительных членов, а второе - число
отрицательных, когда с помощью локального преобразования координат
матрица gjj приведена к диагональному виду. В этой книге используется
сигнатура +2, но многие авторы предпочитают -2. В каждом частном случае
от одной сигнатуры к другой можно перейти с помощью замены знака на
обратный у всех компонент gij; это не приводит ни к каким физическим
различиям, о каких бы величинах в этих пространствах ни шла речь, но зато
возникает путаница в знаках в некоторых формулах (см. дополнение А).
Другой источник'недоразумений при сравнении формул состоит в следующем: в
то время как большинство авторов определяют Rij аналогично (1.105),
другие берут этот тензор с обратным знаком.
3) Космологическая константа влияет как на натяжение, так и на плотность;
здесь мы будем полагать Л = 0.
4) Можно условно говорить о нем, как о положительном давлении, не
предполагая, что давление изотропно.
§ 4. Пространства типа Геделя
281
В качестве простой проверки запишем формулы для идеальной жидкости:
Тц={у- + р) ViVj + pg^,
Gi}= -x(ll + p)ViVj-xgpij, (8 118)
GuWi= -*pgi}WK GijV'= Wgi)V\
где'IP - некоторый вектор, ортогональный 4-скорости Vх. Интересная и
необычайная модель вселенной была предложена Геделем [399, 400]. Мы
исследуем-здесь тип метрики, содержащей геделевскую как частный случай.
На протяжении всего этого параграфа греческие индексы принимают значения
1, 2, а индексы, обозначенные заглавными буквами,- значения 3, 4.
Рассмотрим метрическую форму
Ф = gapdxadx& + gABdxAdxB, (8.119)
где gap -функция переменных х3 и х4, а gAB - постоянные. Хотя эта форма и
является значительно более общей, чем геделевская, все же будем называть
ее формой типа Геделя. Правильная сигнатура для пространства-времени
будет обеспечена, если взять одну из квадратичных форм в (8.119) в любом
порядке с сигнатурой 0, а другую -с сигнатурой + 2.
Для (8.119) имеем
gaB = 0, g"* = 0, gapgPv = 6v, gABgBC = 6c (8.120)
Чтобы отличаться от нуля, символ Кристоффеля должен иметь два греческих
индекса; таким образом, отличными от нуля символами Кристоффеля окажутся
следующие:
[ар, С] = -1 gap,с, [аС, p] = lgap,c (8.121)
и из (1.85) получаем отличные от нуля компоненты тензора Римана:
КаРуб = 4~SEF (ga&^Eg&y.F- #ау,E#P8,f).
fiapCD = -?-gvS (gay.Dgp6.C - #ау,С#рв.п), (8.122)
1 1
RaByD = - -rpgay.BD + 4~g°° #aQ,D#yO.?-
Теперь уже следует конкретизировать вид компонент gap, предполагая, что
последние зависят только от х4. Тогда RapcD обращаются в нуль, и отличные
от нуля независимые компоненты в (8.122) можно выписать в следующем виде:
^1212 = V4 [(#12,4)2 #11,4#22,4]>
¦^1414 = 1 2 #11,44 + 1 ~^g°° #01,4 #01,4"
¦^1424 = 1 2 #12,44 + Х#°° #0Ь4 #02,4,
^2424 = 1 2 #22,44 + 4" #°° #02.4 #02,4*
282
Гл. VIII. Некоторые специальные пространства
В качестве следующего существенного ограничения, соответствующего работе
Геделя, мы выберем
<8Л24>
где а, Ъ, с - постоянные, г]? - некоторая функция х4 (ее производные
будут обозначены штрихами), тогда как для gAs мы выберем любую из трех
следующих матриц:
- (J !)• Со -?). Со ?)• <8Л25>
Конкретный выбор должен быть связан с выбором а , b и с, чтобы обе-
спечить правильную сигнатуру. Положим
о = 62 - ас , е = detgAB = ±1 . (8.126)
Тогда
g = - е<те2^,
^-СьЛСС*)- (8Л27)
g** = gAB-
Сигнатура требует, чтобы либо
о > 0, в=1, (8.128)
либо
0 < 0, е = - 1, а > 0. (8.129)
Первое условие приводит к неопределенности gapdxadxР, а gAB dxA dxB
становится положительно определенной; при выполнении второго условия
имеет место обратное.
Из (8.123) получаем следующие простые формулы:
Z> ^ .К'2
**1414" 4 a V *
#1424 = -4" -|5- "Ф'2 .
#2424 = - * [ Г + ( 1 + -?) Ф' 2 ] в2* •
