Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(возрождающаяся-англ.) удобнее переводить как "сокращающаяся".-Прим. ред.
2) Об истории этой и других форм см. работу Робертсона [989].
3) Дополнительные сведения о конформных полях см. в работах Схоутена
[1061], § 5-7 и Петрова [903], § 34-37, 46.-Прим. ред.
18 Дж. л. Синг
274
Гл. VIII. Некоторые специальные пространства
§ 3. Космологическое красное смещение
Наблюдения показывают, что спектр галактик смещен в сторону красной
линии, причем смещение приблизительно пропорционально расстоянию1).
Ньютоновские концепции так прочно укоренились в умах, что многие
астрономы готовы принять абсолютное пространство - время, а красное
смещение спектра галактик отнести за счет скорости удаления в обычном
ньютоновском смысле.
Релятивист, разумеется, не может смотреть на явление красного смещения
таким образом. Если он чувствует, что материя во Вселенной распределена
со слишком малой плотностью, для того чтобы вызвать значительную кривизну
пространства - времени, то он прибегнет к специальной теории
относительности (плоское пространство - время) (Кермак и Мак-Кри (541],
Милн [745], Синг [1175]). Если же гравитационное поле, порождаемое
материей, оказывается значительным, то и его следует принимать в расчет.
Не стремясь к максимальной общности [даже при обычно принимаемых
допущениях симметрии2)], мы предположим, что метрическая форма
пространства - времени является конформно плоской [т. е. имеет вид
(8.49)]. Запишем ее в виде
Ф = [и (0? (dx2 + dy2 + dz2 - dt2). (8.69)
Относительно функции to (() мы не делаем никаких специальных допущений
(за исключением требования, чтобы она убывала во времени), хотя позднее,
как и в (8.56), мы положим to = t2/a2, ибо это соответствует отсутствию
давления. Как это всегда делается в подобного рода рассуждениях, мы будем
предполагать (несмотря на наличие материи, поскольку Gtj ФО), что мировая
линия фотона есть изотропная геодезическая, причем 4-импульс фотона
касателен к этой геодезической и претерпевает вдоль нее параллельный
перенос, так что можно использовать методы гл. III, § 7 и гл. VII, § 9.
Так как в (8.53) Gai = 0, то временноподобный собственный вектор Gi}
направлен вдоль /:линий, которые, таким образом, оказываются мировыми
линиями материи. Когда будет выбираться источник (галактика) и
наблюдатель, мы примем, что мировые линии того и другого представляют
собой ^-линии (ниже мы увидим, что они оказываются геодезическими).
Прежде чем перейти к рассмотрению красного смещения, отметим, что (8.69)
описывает расширяющуюся вселенную в реальном смысле. В самом деле, как и
в гл. III, § 5, можно оптическим способом измерить "расстояние" между
двумя соседними ^-линиями; оно возрастает вместе с / как
D = a(t)(dx2 + dy2 + dz2)l/i. (7.70)
"Расстояние" между ^-линиями, которые смежны одна с другой, будет служить
предметом обсуждения в дальнейшем. С геодезическими для (8.69)
оперировать легко. Записывая лагранжиан в виде
F = Y К/)]2 (х'2 + у'2+г'2-П , (8.71)
где штрих означает d/dw, а до - канонический параметр, для первых трех
уравнений Лагранжа получаем
<о2х' = А, а>2у' = В, toV = C, (8.72)
*) По этому вопросу см.: С. И. Вавилов, Экспериментальные основания
теории относительности, М., 1928, гл. 8.- Прим. ред.
*) О релятивистской космологии см. работы Робертсона [989], Толмана
[1270], Бонди [67], Мак-Витти [732] и Гекмана и Шюкинга [439].
§ 3. Космологическое красное смещение
275
где Л, В и С -постоянные. Следовательно, геодезические являются прямыми
линиями во вспомогательном евклидовом пространстве Еа , в котором х, у, z
- прямоугольные декартовы координаты. Мы видим также, что /-линии
представляют собой временноподобные геодезические, причем собственное
время на них задается формулой
ds = exit. (8.73)
Вследствие простоты метрической формы (8.69) в координатах (х, у, z)
можно адекватным образом исследовать все временноподобные и изотропные
геодезические, выделяя из них те, которые проходят через начало координат
(х, у, z). Положим
т = (х2 + у2 + z2)1/* , (8.74)
и назовем г псевдорасстоянием от точки (х, у, г) до начала
координат.
Его нужно рассматривать как чисто математическое построение, пока
еще не связанное с физическими измерениями. Для такой радиальной
геодезической из (8.72) получаем
<e>2dr - - kdw ,
где k - положительная постоянная, зависящая от выбора Мы имеем далее
ю2 (dr2 - dt2) = - x\dw2,
где для временноподобной геодезической т] = 1 и dw - ds, ной - т] = 0 .
Следовательно,
(o2dt
(8.75) геодезической.
(8.76) а для изотроп-
dw -
dr= - k-- =
у T)C02+fc2 '
dw kdt
2
to
Y T1C02 -f k2 '
и, в частности, для изотропной геодезической dw = k~lw2dt , dr= -dt.
(8.77)
(8.78)
Фиг. 81. Космологическое красное смещение, изображенное в Еа.
Для обсуждения вопроса о красном смещении полезно изобразить точки в Ev
т. е. в евклидовом четырехмерном пространстве с декартовыми
прямоугольными координатами (х, у, г, /). На фиг. 81 показаны две мировые
линии С и С', представляющие соответственно траектории движения
