Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Конформно соответствующие и конформно плоские пространства 271
Подставляя это в (1.88), находим, что два тензора Римана связаны друг с
другом следующим образом:
R-jhm = Rjhm Ь A]nx\k - Ajh\m "Ь Ajm-Aah AjhAam> (8.40)
где черточка означает ковариантную производную по g[j (но не по
g{j).
(Очевидно, if есть инвариант, a A)h - тензор.) Свертка (8.40) дает
Rjk = Я* + Km - + A%Abah - А%АъаЬ. (8.41V
Теперь в силу (8.39)
Aaj - j, Aaj\k - Ajk\a - 4|ih = 2 Sjh СИ 4>
A%A\a = 4 4, ,4. fc - yА%АъаЬ = 24, ;4, fc - gfo{, (8.42>
где
% = <?'a4, a4, b. ?' 4 = <?'ab4|ab- (8.43V
Таким образом, связь между тензорами Риччи имеет вид
Rjk = #';fc + 4l;h - ^4>/4>ft + + %)• (8-44)
Для скалярных кривизн имеем
R = вЩн = *-*gf"Rik = <Н>( Я' + 3Q'4 + fх) • (8.45),
И, наконец, для тензоров Эйнштейна
Gjk = Rjk ~ = - =
= + (8.46V
Эта формула позволяет свести одну гравитационную задачу к другой..
Допустим, имеется поле g\j с материей, описываемой тензором G'lj4. Тогда,
выбирая произвольно функцию 4. получаем новое поле с gijt заданным по
формуле (8.36), и Gtj - по формуле (8.47). Такое преобразование,
разумеется, представляет собой нечто совершенно отличное от обычных
преобразований координат, ибо последние показывают лишь, как изменяется
математически способ описания одного и того же конкретного поля. Если g'n
- метрика плоского пространства- времени, то говорят, что пространство -
время с метрикой giJt определяемое формулой
(8.36), является конформно плоским. В этом случае R'ikm, Rjk и G/* в.
приведенных уравнениях можно вычеркнуть. В частности,
Gjfe = 4>;fe-y^'fe-^h(n'4 + T>0- (8,4?*
Д'.ожно при желании использовать координаты, в которых
<?'ij = Tlw = giad(l,. 1, 1 - 1); (8.48)
тогда
Вц = е*ЧЦ' (3.49)
Ф = e*[(dx')2 + (dx2)2 + (dx3)2 - (dx*)2).
272
Гл. VIII. Некоторые специальные пространства
Ковариантные производные в (8.47) можно заменить частными, так что мы
имеем
Метрика giy зависит лишь от одной функции ф и, выбирая эту функцию
подходящим образом, можно построить множество пространств, в которых
тензор энергии Ti} задается формулой
где _Gi;- определяется соотношениями (8.50). Степень интересности этих
пространств с точки зрения физики зависит от того, присущи ли им давление
(а не растяжения) и положительная плотность энергии; фактически мы хотим
удовлетворить неравенствам (8.32).
Рассмотрим случай, когда функция ф зависит только от х4. Обозначая ее
производные штрихами, получаем
Действительно, выражения (8.53) дают положительную плотность энергии, но
коль скоро имеет место (8.54), то (8.53) дают не давление, а растяжение.
Удовлетворить (8.54) во всем интервале х4 невозможно. Однако если
(обозначив х4 = () ограничиться лишь t>0 или <<0, то получится интересное
пространство при
где а -произвольная постоянная. Метрическую форму теперь можно записать в
виде
*)Когда ф-функция только х4, мы имеем пространство со сферической
симметрией в смысле гл. VII, § 3, и формулы этого параграфа, разумеется,
могут бытг использованы. Значения Оуу в (8.33) можно проверить,
подставляя в (7.78) а = у=ф, Р=ф-)-21пг и требуя, чтобы ф была функцией
только х4.
(8.50)
? ф = Т,"Ьф,аЬ , Х = '1аЬФ.аФ.Ь •
кТа=-сцу х = 8я,
(8.51)
ф,<х = 0, ф,4 = 1|/, Ф,44 = Ф".
?ф~-ф", х= -Ф'2.
Тогда, используя (8.50), для тензора Эйнштейна находим1)
(8.52)
Саэ = М11,'г + 4^,2Ь
Со4=0,
Gu=-J*'2.
(8.53)
Неравенства (8.32) удовлетворяются при условии
ф" + -^ф'2<°.
(8.54)
(8.55)
(8.56)
Имеем
? 7* '
(8.57)
§ 2. Конформно соответствующие и конформно плоские пространства 273
В этом пространстве отсутствуют давление и поток энергии, а кроме того,
положительная плотность энергии,
ц=- T.W1 с; = (8.58)
которая при t->0 стремится к бесконечности. Это пространство представляет
собой вселенную Эйнштейна-де Ситтера [304].
Другой интересный случай можно получить, положив
е* = (±у , ф = (^)\dx2 + dy2 + dz2-dt•) , (8.59)
когда
Cag = Sap ~jp > - 0, G44 =--------,
(8.60)
и, следовательно,
Gif = Agij, A = 3 a"*. (8.61)
Неравенство (8.54) нарушается, однако здесь это неважно, так как в (8.32)
[и, следовательно, в (8.54)] предполагалось, что космологическая
константа Л равна нулю. Восстанавливая Л и возвращаясь к
(7.4), мы
видим, что (8.59) определяет сокращающуюся1) вселенную де Ситтера с
постоянной кривизной а2. Вывод таков: одно и то же пространство может
появляться в различных обликах, в зависимости от используемых координат,
и поэтому следует сосредоточить внимание на инвариантных свойствах.
Полагая
-НЧ4). <аб2>
можно преобразовать метрическую форму пространства де Ситтера к виду2)
Ф = e~2x/a(dx2 + dy2 + dz2) - dx2. (8.63)
Можно заметить, что любую форму
(b = eHM(dx2-\-dy2-{-dz2) - dx2 (8.64)
можно преобразовать в конформно плоскую3), ибо после преобразования
"=Je-W<t)dT (8.65)
мы имеем
dx2 = е*(т> dt2, (8.66)
и (8.64) принимает вид
ф = еЧ>(0 (dx2 + dy2 + dz2-dt2), (8.67)
где
ф(0 = Л(т). (8.68)
9 Исходя из существа вопроса, используемый автором термин "recreated"
