Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
конечное их движение опять оказывается свободным. Когда частицы движутся
свободно (до и после столкновения), то изображающая точка остается
неподвижной в PH. В результате столкновения изображающая точка переходит
из одного такого положения в другое.
Благодаря в основном работам по статистической механике Гиббса
пространство QP есть, вероятно, наиболее известное из всех перечисленных
выше. В случае консервативной системы множество траекторий образуют
конгруэнцию кривых и через каждую точку пространства QP проходит только
одна кривая. Эта картина является достаточно простой, но она усложняется
для неконсервативной системы. В последнем случае через каждую точку
пространства QP проходит оо1 траекторий. Более того, пространство QP
становится неудобным в теории относительности, в которой t должно
рассматриваться как переменная, равноправная с координатами qp.
В пространстве QTP время t рассматривается как переменная, равноправная с
координатами qp и импульсами рр. Гамильтониан H(q, t, р) является
функцией положения в этом пространстве. Картина траекторий для
неконсервативной системы в этом пространстве проще, чем в пространстве
QP, потому что теперь мы имеем конгруэнцию кривых, а через каждую точку
проходит одна кривая. Пространство QTP отличается от пространств QP и
QTPH тем, что оно имеет нечетную размерность; с математической точки
зрения это различие является существенным.
§ 63]
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
203
Использование пространства QTPH создает наибольшие возможности для общего
рассмотрения динамики. В этом пространстве t и Н рассматриваются как
переменные, равноправные с qp и рр, так что здесь имеет место полная
формальная симметрия. В таком случае 2N + 2 координат распадаются на две
группы (q, t) и (р, Н). Эти две группы почти взаимозаменяемы в
динамической теории. Для того чтобы сохранить симметрию, лучше всего
построить динамическую теорию, воспользовавшись не функцией H(q, t, р), а
уравнением энергии, заключающим в себе, вообще говоря, все 2N + 2
координат пространства QTPH. Это уравнение определяет 2N + 1-мерную
поверхность в пространстве QTPH и изображающая точка должна находиться на
этой поверхности. Однако иногда удобно употреблять функцию энергии вместо
уравнения энергии для того, чтобы иметь дело с пространством, а не только
с этой поверхностью.
Надо заметить, что оптический метод Гамильтона1), в котором все
координаты пространства рассматриваются как равноправные, наводит на
мысль использовать пространство QTPH. Симметричное построение динамики
было предуказано гамильтоновым исчислением главных отношений2). В наше
время этот подход к динамике возрожден в ряде работ 3). Вся теория,
развитая в пространстве QTPH, может быть немедленно перенесена на
рассмотрение изоэнергетической динамики в QP простым уменьшением
размерности.
§ 63. Топологические замечания. Как простую иллюстрацию топологической
ситуации, часто встречающейся в более сложной форме, рассмотрим частицу,
движущуюся
1) Hamilton W. R., Mathematical Papers, I, Cambridge^ University Press,
1931. См. примечание в § 67.
2) Hamilton W. R., Mathematical Papers, II, стр. 297- 410, Cambridge,
University Press, 1940. См. также Г а м и л ь-т о н У. Р., Исчисление
основных соотношений, в сб. Вариационные принципы механики, под ред. JI.
С. Полака, Физматгиз, Москва, 1959, стр. 763-767.
3) Dirac Р. А. М., Proc. Cambridge Phil. Soc., 29, 389- 400 (1933); С о г
b е n and S t е h 1 е [3], стр. 298; L а п с z о s [15], стр. 185.
204 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1
по окружности, уравнение которой -
I2 + Т12 = а2, (63.1)
где (Е, р) - прямоугольные декартовы координаты, и а - const.
Пространство конфигураций Q есть в данном случае сама окружность и мы
можем задать обобщенную координату q, написав
%= a cos <7, ц = a sin q, - оо < q < + оо. (63.2)
Тогда любое значение q определяет конфигурацию (точку пространства Q), но
любой конфигурации (или точке пространства Q) соответствует бесконечное
множество значений q (отличающихся друг от друга на 2я). Мы
2 л Zn 2 л 2п
о------------о о.......о-------^
Рис. 29. Пространство изображений Q'.
Бесконечное множество конгруэнтных точек, циклическая координата q
которых отличается на кратное 2я, соответствует одной-единственной
конгруэции или точке пространства Q.
можем тогда говорить о пространстве изображений (скажем, Q'), которое
есть бесконечная прямая с отложенными на ней через 2я значениями q (рис.
29). Однако мы всегда должны помнить, что соответствие между
конфигурациями и точками пространства не взаимно однозначное. Можно
назвать q циклической *) координатой, а приращение ее, которое приводит к
той же самой конфигурации, ее циклической постоянной (в нашем случае это
2я). Множество точек в пространстве Q', полученное прибавлением к
циклической координате любого числа, кратного циклической постоянной,
можно назвать множеством конгруэнтных точек.
1) Во многих динамических проблемах циклические координаты есть
