Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
игнорируемые координаты (ср. § 46) и слово циклическая часто считается
синонимом термина игнорируемая', ср. Голд-стейн [7], стр. 62. В этой
книге слово циклическая имеет только отмеченный выше топологический
смысл.
§ 63J
'Топологические замечаний
205
Это многозначное представление вызывает возражения, но оно практично и
потому широко применяется. Можно получить взаимно однозначное
соответствие между конфигурациями и значениями q, приняв вместо
определения
(63.2) следующее:
a cos q, ц = 0< q < 2я.
a sin q, (63.3)
Однако теперь соответствие разрывное, так как, придав частице малое
смещение от конфигурации В q = 0 в сторону уменьшения q, мы получаем
значение q, отличающееся от исходного сразу на 2я.
Такие разрывные представления вызывают еще большие возражения, чем
многозначные представления; мы возвращаемся поэтому к знакомому
топологическому плану. Он включает использование двух координатных
систем, частично перекрывающихся. Мы задаем координаты q, q' следующим
образом:
Рис. 30. Перекрывающиеся координатные системы.
? = a cos q, | = a cos q ,
11
11
a sm q,
- a sin q
0
< q < n.
(63.4)
На рис. 30 на дуге EADBF определена переменная q, а на дуге AECFB - q'.
Очевидно, перекрываются дуги АЕ и BF. В пересечении АЕ и BF мы задаем
преобразования
АЕ
BF
я
Я ¦
(63.5)
Рассматривая частицу, которая движется по окружности против часовой
стрелки, начиная от точки А , мы применяем координату q до тех пор, пока
точка не достигает BF. Здесь мы переходим к координате q' и пользуемся
ею, пока не достигнем' АЕ, где снова переходим к координате q. Таким
образом, вне пересечения областей мы
206 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
имеем непрерывное взаимно однозначное соответствие между точками Q и
значениями соответствующих координат (q или д'); в каждой же области
пересечения мы можем выбирать между двумя координатами, и когда мы
оставляем это пересечение, то переходим в некоторую область с
соответствующей ей координатой. Хотя это и более грубое представление,
чем то, которое имеется при использовании циклической координаты, однако
во многих отношениях это наиболее удовлетворительный метод.
В обычной динамике мы начинаем рассмотрение с физической системы, которую
мы могли бы, если нужно, построить в сфере нашего опыта. Тогда на
топологические вопросы относительно пространства конфигураций Q можно
было бы ответить, апеллируя к нашей интуиции об обычном пространстве.
Однако такая интуиция непригодна, когда мы начинаем развивать общую
динамическую теорию; эта теория должна быть построена на математическом
основании; если наша интуиция правильна и полезна, мы смогли бы избегать
чисто формальных аргументов.
Недостаточно сказать, что мы будем обсуждать динамическую систему с
обобщенными координатами др и
лагранжевой функцией L(q, t, q). Должна быть задана топология
пространства Q. Для этого имеются четыре способа.
1. Можно сказать, что каждая из координат др изменяется в границах - со,
-j- оо с непрерывным взаимно однозначным соответствием между
конфигурациями (или точками пространства Q) и множеством значений (g 1,
g21 • • •)• Это простейший случай (евклидова топология). Мы не должны,
однако, применять обязательно только эти координаты; мы можем перейти к
другим, при условии, что в рассматриваемой области пространства Q
преобразование гладкое и его якобиан отличен от нуля.
2. Можно рассматривать пространство Q, как погруженное в евклидово
пространство более высокой размерности. Тогда топология пространства Q
заключена в уравнениях, которые определяют Q как подпространство.
s 63]
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
207
3. Можно слегка изменить случай 1, добавив циклические координаты, и
заменив, таким образом, Q пространством Q'. Точка пространства Q
соответствует множеству (вообще говоря, бесконечному) конгруэнтных точек
в пространстве Q'.
4. Можно ввести не одну координатную систему, а несколько с частично
перекрывающимися областями и с такими преобразованиями координат в этих
пересечениях, уравнения которых не имеют сингулярных точек1).
Нам понадобятся следующие топологические термины:
Контур - это замкнутая кривая в пространстве изображений. Это -
приводимый контур, если непрерывным преобразованием пространства его
можно стянуть в одну точку; в противном случае он неприводим. Два контура
называются совместимыми, если непрерывным преобразованием можно
преобразовать один в другой; если этого нельзя сделать, они называются
несовместимыми.
Все приводимые контуры совместимы. Два неприводимых контура могут быть
либо совместимы, либо нет. Если они несовместимы, они называются
независимыми. Пространство, обладающее несовместимыми контурами, есть
многосвязное пространство, если же пространство не имеет таких контуров,
то это односвязное пространство. Пространство - двухсвязное2), если
имеется один независимый неприводимый контур; оно трехсвязное, если
имеется два таких контура и т. д.
Поверхность сферы односвязна3); внешняя область круга или поверхность
