Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
А (q, q) о. Т (q, q) - V (q) - epogpg" - F, (66.3)
коэффициенты ар0(= аор) и V - функции переменных q. Таким образом, t не
входит явно в А. В этом случае однородный лагранжиан согласно соотношению
(64.13) равен
о йрахр ха
А (х, х') = ------------Vx'N+i ; (66.4)
XN +1
это выражение имеет не столь простой вид, как выражение для L(q, q).
Ясно, что теория для PC упростится, если положить в основу A(z, х'), а
теория для ОДС будет проще, если
построить ее на L(q, q). Принцип Гамильтона выражается в этих случаях
так:
PC: б ^ [(brs dxr dxf2 + Ar d*,] = 0, (66.5)
ОДС: й J (-|ep"5P5"-vj*-0. (66.6)
Уравнения Лагранжа в случае PC принимают вид
dbst , ,
_d
du
- b x' x
f иТППи'ТПи' Tl
- Xs Xf
(66.7)
b x* x' dxr
' иТППи'ТПи'П T
а если мы выберем за и параметр на луче, который обращает в единицу
выражение
bmnx'mxn - 1, (66.8)
§ 67] УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ Q(*, у) = 0 И ГАМИЛЬТОНИАН H(g,t,p) 219
то уравнения упрощаются и превращаются в следующие
J- (ЬгХ ) + ( ) Ха - ~ X* Xf = 0, (66.9)
du \ oxs дхт 1 дхт
или
ЬтХ' + \д^--дА^\х:+ дх3 дхт
+ l dbIL_db11\x-x- = 0 (6610)
dxt дхт /
В случае ОДС лагранжевы уравнения движения имеют вид
d дТ _ дТ_ = _dV. dt dqp dqp dqp '
ИЛИ
д
Ярс?с + Ipv, q] =
dqP
(66.11)
(66.12)
или
<7p +
el.. po dv
= ~ a - :
pvj dqa
где символы Кристоффеля равны
[pv, а]
el
да
pv
1 f дарр ^ davp
2 V dqv dqp dqa
pW
ap0[pv, a], apaaiia = fi?.
(66.13)
(66.14)
§ 67. Уравнение энергии S2 (x, y) = 0 и гамильтониан H(q, t, p). Начнем
рассуждения сначала. До сих пор мы рассматривали (N + 1)-мерное
пространство QT с координатами хт, выражающимися через qp и t как
хр ^ qр, Xfj + j e t (67.1)
220
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT)
[ГЛ. II
Будем рассматривать вместо лагранжиана А(х, х') или L(q, t, q) в
пространстве QT уравнение энергии1)
Щх, у) = 0, (67.2)
связывающее координаты хг точки в пространстве QT с вектором уг. С
геометрической точки зрения это уравнение можно рассматривать как
сопоставляющее каждой точке (^-пространства iV-мерную поверхность в (N +
1)-мерном пространстве, касательном QT, причем уг - координаты в этом
касательном пространстве.
В области, где частично перекрываются две координатные системы (х, х*),
ут преобразуется как ковариант-ный вектор
у; - . (67.3)
дх$
Это дает условие
y*dx*=yrdxr, (67.4)
так что эта форма Пфаффа есть инвариант, преобразования.
Для общей теории часто лучше рассматривать все координаты симметрично,
поэтому мы оставляем уравнение
(67.2) в этой общей форме. Но иногда удобно разрешить уравнение энергии
относительно г/jv+i, так что оно принимает вид2)
*/jv+i ~Ь w(a:i, . . ., xN, xN+i, yi, . . ., yN) = 0.
(67.5)
Определим pp и H следующими уравнениями:
Ур = Рр, г/jv+i = - Н (67.6)
(подчеркиваем наличие знака минус). Тогда уравнение
(67.2) выражает соотношение между 2ЛГ + 2 величинами qp, t, рр, Н, а
уравнение (67.5) выражает Н как функцию
!) Причина такого названия выяснится, когда мы введем уравнение (67.8).
2) Уравнение может иметь несколько корней, так что со - многозначная
функция; в этом случае мы выделяем одно значение. Можно, конечно,
разрешить уравнение относительно произвольного у, в данном случае лучше
всего взять yy+i-
§ 68) ВТОРАЯ ФОРМА ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА
221
остальных переменных,
Н = (S){qx, . . qN, t, ри . . pN), (67.7)
или, кратко, можно записать ее в виде
Н = H(q, t, р). (67.8)
Для последующих целей представляется соблазнительным связать найденную
функцию с физическими понятиями, назвав Н гамильтонианом, а уг - вектором
импульса - энергии', ради краткости можно называть уг просто импульсом,
если нет опасности какой-либо путаницы. Так как для простейших систем
гамильтониан равен энергии, то удобнее назвать (67.2) уравнением энергии,
ибо оно эквивалентно уравнению (67.8)J).
§ 68. Вторая форма принципа Гамильтона. Гамиль-
тоновы канонические уравнения движения. Пусть Г - какая-нибудь кривая в
пространстве QT, соединяющая точки В* и В. Мы определим гамильтоново
действие вдоль кривой Г следующим интегралом:
Ан (Г) = ^ уг dxr = ^ (рр dqp - И dt). (68.1)
1) В этом изложении динамической теории я следую методу Гамильтона в
геометрической оптике, который в основном тот же, что и его динамический
метод, но более компактен, так как здесь он более симметричен. Чтобы
добиться этой компактности, приходится рассматривать координаты др
наравне с временем t и импульсы рр - наравне с отрицательным
гамильтонианом Н. Симметрия здесь достигается по существу, хотя ее может
и не быть в обозначениях; см. К а р т а н Э., Интегральные инварианты,
пер. Г. Н. Бермана, под ред. В. В. Степанова, Гостехиздат, Москва, 1940.
Мы встречаем ее также у Ланчоша [15], стр. 185-192, иуГолдстейна [7],
стр. 269. Ланчош употребляет для уравнения (67.2) название
вспомогательное условие. В гамильтоновой оптике это уравнение служит
уравнением поверхности, а величины уТ являются компонентами "нормальной
медленности" (т. е. обратной скорости. - Л. П.); см. Н a m i I t о n W.
