Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 60

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 124 >> Следующая

QT с некоторым определенным направлением на ней, но без какой-либо
частной параметризации, так что перед нами геометрический объект; он
соответствует возможному движению системы.
§ 64] ОДНОРОДНЫЙ ЛАГРАНЖИАН А(*, х>)
211
Введем однородную лагранжеву*) функцию
..., ? j) | хГ = •- \ аи
, (64.3)
которую обозначим ради краткости через А(х, х'). Потребуем, чтобы эта
функция была положительной и однородной первой степени относительно
производных х'г, так что выполняется условие
и согласно теореме Эйлера для однородных функций имеют место соотношения
Что касается гладкости, то мы будем предполагать существование и
непрерывность производных до того порядка, который может потребоваться.
Если все-таки разрывы появляются при рассмотрении того или иного вопроса,
то их можно обсудить особо.
В области пересечения координатных систем Л преобразуется как инвариант в
смысле тензорного исчисления. Если х* и хт - две системы координат, а Л*
и Л - два лагранжиана, то
Лагранжево действие2) вдоль некоторой направленной кривой Г, проведенной
из точки В* (где и = и^) в точку В
1) Настоящее обсуждение проводится намеренно несколько абстрактно для
того, чтобы не ограничивать область возможных приложений теории. Слово
"лагранжиан" связывает наши рассуждения с более конкретной теорией § 46,
а поэтому и с физическими понятиями (§ 2).
2) К сожалению, одним простым словом "действие" обычно
называют интеграл \ -- <7др. (СР- Голдстейн [7], стр. 249;
Уиттекер [28], стр. 277) и нет общепринятого названия для более
фундаментального интеграла (64.7). В этой книге мы будем называть его
лагранжевым-действием.
А (х, кх') - кА (х, х') (к > 0), (64.4)
(64.5)
А* (х*, х*') = А (х, х').
(64.6)
14*
212 ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT) [ГЛ. и
(где и = н2 > Ui), определяется следующим образом:
U2
Аь (Г) = ^ Л (а;, х') du, (64.7)
"1
так что ЛЬ(Г) - функционал; он зависит от выбора кривой Г. Вследствие
однородности Л, ЛЬ(Г) не зависит от параметризации. Элемент лагранжева
действия есть
dAL = А (х, х') du = Л (х, dx). (64.8)
Вообще говоря, между действием от точки В* к В и действием от точки В к
В* не существует никакой связи, даже если кривая одна и та же в обоих
случаях.
Определяя в пространстве QT элемент действия А(х, dx), мы превращаем его
в пространство Финслера (выражаясь на геометрическом языке). Если Л(а;,
dx) - квадратный корень из однородной дифференциальной квадратичной
формы, то QT - пространство Римана.
Элемент лагранжева действия (64.8) можно написать более подробно так:
dAl ~ А (xi, ..,, х ^Х\, ..., Хдг-i-i) du. (64.9)
Вследствие однородности Л элемент лагранжева действия dAL не зависит от
выбора параметра и. Примем и = t; тогда согласно (64.1) справедливо
равенство
dAt = A (qi, ..., qN,t, qu .qN, 1) dt. (64.10) Определим функцию L{q, t,
q) следующим образом:
E(^i, ^1" • • • t ?jv)
= A (q^ ...,qN, t, qu . . ., qN, 1). (64.11) Элемент лагранжева действия
равен тогда
dAL = L (q, t, q) dt. (64.12)
Эта функция L{q, t, q) называется обыкновенной лагранжевой функцией (ср.
§ 46).
Две функции, Л (функция 2N +2 переменных, положительная и однородная
первой степени относительно
§ 64] ОДНОРОДНЫЙ ЛАГРАНЖИАН А (ж, х') 213
последних N + 1 из них) и L (функция 2N + 1 переменной, не ограниченная
никаким таким условием), эквивалентны друг другу в том смысле, что одна
определяет другую. Если дана функция А, мы получим функцию L из уравнений
(64.11); наоборот, пусть задана L, мы получим функцию А, приравняв (64.9)
и (64.12) и разделив на du. Таким образом,
А (х\, .. xN, xN + i, х\, ..., Хн, x^ + i) =
= A(<7i, ..., qN, t, qi, ..., q^) t =
A 1^1, + ~ т • • • т ; j XN + U (64.13)
\ xN+l xN + l!
что удовлетворяет требованию однородности.
Для того чтобы найти соотношения между частными
производными функций Л(х, х') и L(q, t, q), варьируем хг и х'г в (64.13).
Получаем
дА дА
Ьхг 4- Ьхг =
дхт дх'г
dJLbqp+-bt+-bqf\+Lbt\ (64.14) dqp dt dqp J
Ho
Подставляя эти значения в (64.14), заменяя бqp на bxPt a bqp - на Ьх'р,
bt' - на bx'N+1 и приравнивая коэффициенты при 2N + 2 независимых
вариациях bxr, Ьх'г, получаем
214
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT)
[ГЛ. II
§ 65. Первая форма принципа Гамильтона. Лагранжевы уравнения движения.
Пусть Г (рис. 32) - какая-нибудь кривая, соединяющая точки В* и В. Пусть
rt - одна из соседних варьированных кривых с концами в точках D*, D.
Выберем для rt тот же параметр и, что и на
Л
Рис. 32. Вариация действия Лагранжа.
кривой Г, с теми же значениями на концах: Ui, и2. Тогда вариация
лагранжева действия равна
бАь = Al (ГО - Al (Г) = I^ 6А du =
и I
= ? (Л±_ бхг + - 6*;W (65.1)
J \ дхг dxj 1
а 1
Интегрирование по частям дает
U~U3~\{rr7~J^)bXrdu- (65'2)
j \du дхг охг ]
и =III и1
Ограничим теперь варьированную кривую Г i требованием, чтобы ее концевые
точки совпадали с точками Б*,
6А,
ЗА
дх'т
ЬХт
§ 65] ПЕРВАЯ ФОРМА ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА 215
В. Тогда первый член правой части (65.2) исчезает. Если ЬАь = 0 для всех
вариаций от Г к Гь совершенно произвольных, за исключением условия
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed