Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 53

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 124 >> Следующая

исследовано другим путем в § 52 настоящей книги.
190 ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ УДАРНОГО ИМПУЛЬСА [ГЛ. IV
к общей касательной плоскости, так что имеем равенство F=Fn, F > 0,
(59.3)
где п - единичный вектор нормали, направленный от Si к S2* Это
предположение сводит число неизвестных к 13, а именно,
к', к', h\, h\, F. (59.4)
Оставшуюся неопределенность можно устранить, если предположить, что имеет
место закон сохранения энергии
Г = Т. (59.5)
Здесь Т известно, а Т' можно выразить через v[, v2, h[, h'2.
Но можно воспользоваться и более общим способом, который содержит
изложенный как частный случай. Пусть mi, и2 - скорости двух частиц,
соприкасающихся в точке С, так что
Mi = щ + (01 X г 1,
М2 = K2+ ft>2 X Г2,
где o>i и ю2 - угловые скорости тел. Можно считать, что формулы такого
вида имеют место не только в начале соударения, но и в течение всего
короткого времени, пока соударение длится. Введем скорость сжатия с,
определенную следующим образом:
с = it' (iii - и2). (59.7)
В начальный момент она положительна, так как тела стремятся вдавиться
друг в друга. Все соударение разбивается на два периода: (I) период
сжатия, когда с > о, и (II) период восстановления, когда с < 0. В период
сжатия действуют ударные импульсы, как раз достаточные для того, чтобы
свести с к нулю. Обозначая их через (-In, In), а скорости соответствующих
частиц в момент окончания периода сжатия - через v[, v"2, . . ., получим
(59.6)
ml(v[ - vi)= -In, m2(t>" - e>2) = In,
h"1 - hi=-rixln, hl - h2 = r2X In, (59.8) с" = и • (m'( - и") = 0.
§ 59] СОУДАРЕНИЯ. КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ 191
Из 13 скалярных уравнений, заключенных в (59.8), можно определить I и
движение в конце периода сжатия.
Что касается периода восстановления, то предполагается, что ударные
импульсы для этого периода пропорциональны ударным импульсам в течение
сжатия; коэффициент пропорциональности, обозначенный через е, называется
коэффициентом восстановления. Его величина изменяется от е - 0 (неупругий
удар) до е = 1 (iабсолютно упругий удар); удары с промежуточными
значениями е называются полуупругими.
Конечный результат столкновения получим, если подставим значения F,
F = (l + e)In, (59.9)
в уравнения (59.1); при этом величина I находится из (59.8).
Можно показать, что условие е - 1 заключает в себе Г = Т (59.5).
Для того чтобы дать пример коэффициента восстановления, рассмотрим удар
двух гладких однородных шаров. В этом случае ударные импульсы не имеют
моментов относительно центров масс, и уравнения (59.8) сводятся к
следующим:
mi (v"1-v'1)=-In, m2(v;-v2) = In, \
n-(v[-v't) = 0. J (59Л0)
Отсюда получаем
mpn^
mi + m2 ' mt + m2 '
где с - начальная скорость сжатия. Согласно уравнениям
(59.1) и (59.9) имеем
пц (у' - yt) = - (1 + е) In, m2 (у' - у2) = (1 + е) In (59.12) и поэтому
скорости после соударения равны:
т2С /Л , \
vi = vl~m А_т (1 + е)".
mi~\-m2
¦¦v2-\------(1 + е) я.
т1 + т2у
(59.13)
192 ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ УДАРНОГО ИМПУЛЬСА [ГЛ. IV
Потеря кинетической энергии выражается следующим образом:
Т - Г = - (1 - е2). (59.14)
2 (mi + m2)
§ 60. Минимальные теоремы при движении под действием ударных импульсов.
Если на систему из Р частиц действуют ударные импульсы Ft, то
2 - Vi) wi= 2 Fi'Wi, (60.1)
где Wi - произвольные векторы и vt, vl - скорости частиц до и после
приложения ударных импульсов. Здесь и ниже суммирование производится по i
= 1, . . Р.
Уравнение (60.1) можно рассматривать как особую форму принципа Даламбера
(§ 45), справедливую для движения под действием ударного ймпульса1).
Система может быть подчинена связям, вследствие которых определенные
частицы должны оставаться неподвижными или двигаться по гладким
неподвижным кривым или поверхностям; связи могут быть также такими, что
расстояния между некоторыми частицами остаются постоянными (жесткость).
Такие связи могут сохраниться при действии ударных импульсов; они могут
также внезапно появиться или внезапно разрушиться. В любом случае можно
разбить ударный импульс на две части:
F^Pi + Ri, (60.2)
где Pi - данные (или приложенные) ударные импульсы, a Rt - ударные
импульсы, обусловленные связями. Последние удовлетворяют условию
^Ri.Wi = 0, (60.3)
если Wi - скорости, удовлетворяющие связи.
1) Ср. И о u t h [22], I, стр. 298-304; Аппель [2], II, стр 448-462.
60]
МИНИМАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
193
а) Теорема Карно (первая часть). Если к системе не приложены ударные
импульсы, то внезапное наложение связей уменьшает кинетическую Энергию
системы1).
Для того чтобы доказать эту теорему, выберем неравными vp, правая часть
уравнения (60.1) обращается в нуль по (60.3) и имеем уравнение
'^mi(v'i - vi)-v'i - 0. (60.4)
Потеря кинетической энергии, может быть, поэтому представлена
положительно определенным выражением
1 1
'Г - Т' = у ^ mivi 'Vi- у 2 miVi' Vi =
= у 2 1711 ~ ' ~ > 0- (60-5)
P) Теорема Карно (вторая часть). Кинетическая энергия возрастает, если
жесткие2) связи разрушаются "взрывом".
В случае "взрыва" ударные импульсы, действующие между частицами системы,
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed