Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
следующим образом:
G = h = Csk = Cscaxk = Cspi, (57.12)
где вектор i таков, что (i, J, к) образуют ортонормальный триэдр, как
показано на рис. 26. Этот момент вращения известен под названием
гироскопическая пара; так как он пропорционален s, то гироскопическая
пара есть проявление гироскопической жесткости. Квадранты на единичной
сфере, изображенные на рис. 26, поясняют, какой смысл имеют указанная
пара, прецессия и спин.
§ 57] ГИРОСКОПИЧЕСКАЯ "ЖЕСТКОСТЬ". ГИРОКОМПАС 183
Р) Гирокомпас. Рассмотрим твердое тело с осью динамической симметрии,
проходящей через центр масс О. Пусть оно установлено так, что может
свободно вращаться вокруг точки О, а эта точка закреплена на поверхности
вращающейся Земли. Это тело можно назвать свободным гирокомпасом. Его
движение определено уравнением
(57.1), где h и G измеряются относительно точки О.
Момент сил G обусловлен только притяжением к Земле.
Предположим, что Земля однородна и имеет сферическую форму, тогда
результирующая сил притяжения, действующих на частицы
твердого тела, проходит че-
рез центр Земли. Но, вообще говоря, она не проходит через точку О,
так что
G ф 0. Однако этот момент вращения в действительности так мал, что на
практике им можно пренебречь. Полагая G = 0, мы имеем h =
= const и движение гирокомпаса есть движение Пуансо (§ 55). Ось симметрии
гирокомпаса вращается с постоянной угловой скоростью прецессии вокруг
некоторой неподвижной в пространстве прямой, определенной начальными
условиями. Действительно, свободный гирокомпас указывает земному
наблюдателю неизменное направление в пространстве.
Рассмотрим теперь случай, когда ось симметрии гирокомпаса вынуждена
(благодаря связи не совершающей работы) оставаться в горизонтальной
плоскости1). На
Э Это есть математическое упрощение связи, применяемое практически, см. Л
а м б [14], гл. 8, § 60; Р б s с h 1 Th., Handbuch der Physik, т. 5, стр.
543-552 (1927); D e i m e 1 R. F., Mechanics of the Giroscope (New York,
Macmillan, 1929); Rawlings A. L., The Theory of the Giroscopic Composs
(New York, Macmillan, 1929); Ferry E. S., Applied Gydrodynamics (New
York, Wiley, 1932); Grammel R., Der Kreisel, т. 2 (Berlin, 1950).
Рис. 26. Гироскопическая пара, прецессия и спин.
184 ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ИМЕЮЩЕЕ ОДНУ НЕПОДВИЖ. ТОЧКУ [ГЛ. III
рис. 27 PQ - часть земной оси (направленной с юга на север); К -
единичный вектор, параллельный PQ; OQ - горизонтальная прямая
(направленная с юга на север; Я - широта точки 0\ (i, j, к) -
ортонормальный триэдр, у которого вектор j вертикален, а вектор к
направлен вдоль оси симметрии гироскопа, О - угол, который вектор к
образует с осью OQ (положительное направление отсчета - с востока на
запад). Круг в перспективе
представляет горизонтальную плоскость, касающуюся земной поверхности в
точке
О. Угловая скорость гироскопа складывается из угловой скорости Земли
Й/f, угловой скорости триэдра относительно Земли,fly, и спина, s0k.
Отсюда момент импульса для точки О равен
h = - AQ sin О cos Xi + А (О + -ffisinXJy-f-Csft, (57.13)
где (А, А, С) - моменты инерции для точки О и s = = s0 + Й cos О cos Я.
Пренебрегая, как и раньше, моментом сил притяжения Земли, найдем, что
момент G, поддерживающий ось в горизонтальной плоскости, имеет
направление вектора i.
В координатной форме по осям к и j уравнение (57.1) дает s = const и
^'& + C^cosA.sin19' - .4Й2 sin ft cos ft cos2 Я = 0. (57.14)
Это уравнение описывает колебания гирокомпаса около горизонтальной прямой
OQ, проведенной с юга на север. Если пренебречь членом, содержащим Й2, то
получим уравнение вида (34.2), которое описывает конечные колебания
кругового маятника. Для малых колебаний
Рис. 27. Гирокомпас с осью, лежащей в горизонтальной плоскости.
§ 57] ГИРОСКОПИЧЕСКАЯ "ЖЕСТКОСТЬ". ГИРОКОМПАС
185
период равен
т = 2л Л/ --------- . (57.15)
V с"й cos а.
Аналогично исследуются случаи, когда плоскость, ограничивающая движение,
не горизонтальна или когда неподвижная точка на земной поверхности не
является центром масс (барогироскоп, х).
1) Ср. Аппель [2], 11, стр. 320-322.
ГЛАВА IV
ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ УДАРНОГО ИМПУЛЬСА
§ 58. Ударный импульс и момент ударного импульса. Уравнения Лагранжа.
Уравнение движения (30.1) для частицы дает следующее соотношение:
*2
mv2 - mvi- ^ Fdt, (58.1)
<i
индексы 1 и 2 относятся соответственно к моментам времени t\ и 12.
Переходя к пределу, когда F стремится к бесконечности, а интервал t2 - t\
стремится к нулю, при-
л
ходим к понятию ударного импульса F, который, будучи приложен к частице,
вызывает конечное мгновенное изменение скорости, определяемое формулой
mAu = F. (58.2)
В ходе математического исследования ударные импульсы можно рассматривать
аналогично обычным силам. Можно говорить о моменте г X F ударного
импульса F, приложенного в точке г, и о работе ударного импульса,
определенной следующим образом:
6JT = F-6r. (58.3)
Мы должны, конечно, постоянно иметь в виду, что добавление слов "под
действием ударного импульса" изменяет природу основного понятия силы; это
