Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
R., Mathematical Papers, т. 1, стр. 291, 303 (Cambridge, University
Press, 1931). Из современных общих исследований по геометрической оптике
см. Caratheodory С., Geometrische Optik, Berlin, 1937, или более тесно
связанную с идеями Гамильтона работу Synge J. L., J. Opt. Cos. Amer. 27,
75-82 (1937).
222
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT)
[ГЛ. II
Поле векторов уг вдоль кривой Г задано каким-нибудь образом, совместимым
с уравнением энергии (67.2). Таким образом, гамильтоново действие зависит
не только от одной кривой Г, но также и от задания поля ут вдоль Г.
Варьируем кривую Г (как на рис. 32 § 65) и в то же время проварьируем ут
каким-либо образом, совместным с уравнением (67.2). Получаем следующее
выражение для вариации гамильтонова действия:
мн= ^ (6г/г dxr + угб dxr) =
= | утЬхт | + ^ {Ьут dxT - Ьхт dyT). (68.2)
Так как Q = О для кривой Г и для варьированной кривой, то имеем
SQ = - 6хг + - Ьуг = 0. (68.3)
дхг дут
Если концы кривой закреплены, то уравнение (68.2) примет вид
ЬАН = ^ (byT dxT - Ьхт dyT). (68.4)
Если принять во внимание условие (68.3), то кривая стационарного
гамильтонова действия, т. ё. кривая, удовлетворяющая уравнениям
б ^ уг dxT = 0, Q {х, у) = 0, (68.5)
и имеющая закрепленные концевые точки, удовлетворяет также следующим
уравнениям:
dxT = dw -- , dyr = - dw , (68.6)
• дут дхт
где dw - бесконечно малый множитель Лагранжа. Поэтому экстремаль
удовлетворяет дифференциальным уравнениям
§ 68] ВТОРАЯ ФОРМА ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА
223
Назовем уравнения (68.5) второй формой принципа Гамильтона, а уравнения
(68.7) - уравнениями движения в форме Гамильтона или каноническими
уравнениями.
Кривую с соответственными векторами уг, удовлетворяющими этому принципу
(или, что то же, этим дифференциальным уравнениям), назовем лучом или
траекторией. Кривая в пространстве QT и соотнесенное ей векторное поле
описываются уравнениями вида
Эти функции определяются уравнениями (68.7), если заданы начальные
значения переменных х и у.
Параметр w в уравнениях (68.7) есть специальный параметр в том смысле,
что его нельзя изменить, если только задана функция Q. Так как элемент
гамильтонова действия равен
то это соотношение и определяет dw. Но, конечно, некоторое соотношение
может быть выражено различными уравнениями, и если мы перейдем от
уравнения Q = 0 к уравнению Q*= 0, и оба выражают одно и тоже
соотношение, то соответствующие параметры удовлетворяют условию
Отметим, что уравнение Q = const является прямым формальным следствием
дифференциальных уравнений
(68.7), ибо имеем
xr = xr(w), yT = yT(w).
(68.8)
(68.10)
dQ _ dQ dxT dQ dyr _ ^
dw dxT dw dyT dw
(68.11)
Изложенная здесь теория имеет фундаментальное значение в классической
динамике; выразим ее также в несимметричных обозначениях. Принцип
Гамильтона (68.5)
224 ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT) [ГЛ. II
имеет следующую формулировку1):
б J (рР dqp - Н dt) = О, Я = Я (q, t, р), (68.12)
если концы фиксированы в пространстве QT. Полная вариация этого интеграла
выражается следующим образом:
ЬА
я = ^ (брр dqp + ррЬ dqp - 6Я dt - Яб dt)
= \рРЬЯр - Я б* I +
+ ^ (брр dqp + б qp dpp - б Я dt + б< сТЯ). (68.18)
Но так как
^ А I дН я* ^ дН А (Кй \/\
6Я = --бдр + --б< + -- брр, (68.14)
dqp dt дрр
то вариацию можно преобразовать к виду ЬАн = | Яр бдр - Я бг | + ^ |брр
iydqp - dt'j -
дН А , xJJtT дН Л\
- bqp ^фр + -- dtj + бt ydH - Я j | . (68.15)
Первый член справа обращается в нуль, если концы фиксированы, а на
остальной части кривой бдр, брр, бt остаются произвольными. Отсюда
вариационное уравнение (68.12) приводит к уравнениям движения в форме
Гамильтона для лучей или траектории, именно, к уравнениям
дН . дН
Яр = --> Рр = -~-. (68.16)
дрр dqp
согласующимся с уравнениями (47.7). Это - канонические уравнения, так же
как уравнения (68.7). Мы получаем
х) Эта общая формулировка принципа Гамильтона дана Гельмгольцем; ср. JI е
в и-Ч ивита и Амальди [16], Н2, стр. 452.
S 68]
ВТОРАЯ ФОРМА ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА
225
(68.17)
Это означает, что Н есть постоянная величина вдоль луча или траектории,
если t не входит явно в функцию H{q, t, р) (система консервативна, ср. с
§ 62).
Можно использовать термин fi-динамика, чтобы указывать, что теория
основана на уравнениях (68.5), или термин //-динамика в случае, когда
теория основана на уравнении (68.12). Это только различные способы
выражения и мы объединим их под общим названием гамильтонова динамика.
Относительные преимущества и слабости этих двух аспектов гамильтоновой
динамики находятся в тесной аналогии с относительными достоинствами и
недостатками выражения уравнения поверхности в двух формах, f(x, у, z) =
0 и z = f(x, у)\ впрочем, для того чтобы улучшить аналогию, следовало бы
рассматривать любое число переменных. Q-динамика кажется предпочтительнее
по общим причинам, когда желательно поставить все 2N + 2 переменных в
равное положение, //-динамика во многих отношениях предпочтительнее с
аналитической точки зрения. Таким образом, уравнения движения (68.16)
