Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 56

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 124 >> Следующая

(исключая допущения и истолкование). Все изложение основано на
лагранжиане или гамильтониане, или на эквивалентной величине.
Кинетическая энергия, столь важная в прямых физических приложениях
ньютоновой динамики, играет второстепенную роль
1) Геометрический подход к динамике, по-видимому, впервые развит
Герцем; см. Герц Г., Принципы механики, изложенные в новой связи, пер. с
нем., изд. АН СССР, Москва, 1959. В книге содержатся также статьи Г.
Гельмгольца и А. Пуанкаре. См. также Ricci G., L е v i-C i v i t a Т.,
Methodes de calcul absolu et leurs applications, Math. Ann. 54, 125-201
(1901); Гиббс Дж., Основные принципы статистической механики, пер. с
англ., Гос-техиздат, Москва, 1946; Synge J. L., Phil. Trans. Roy. Soc.,
London, ser. A226, 31-106 (1926): В r i 11 o,u i n L., Les Tenseurs en
mecanique et en elasticite (Paris, Masson, 1938); L a n с z о s [15]; P г
a n g e [21].
200 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
(в иллюстративных примерах ив § 84, 85), и гамильтониан не ограничен
требованием быть квадратичной функцией обобщенных импульсов, как это
всегда имеет место в ньютоновой динамике.
§ 62. Пространства представлений. При изложении динамической теории мы
будем пользоваться следующими пространствами представлений1):
Название Символи- ческое обозначе- ние Размер- ность Координаты
Пространство конфигу-
рации ........ Q N
Пространство событий QT N-1-1 qр, t\ или хт
Пространство импульса
и энергии PH N+1 рр, Н- или ут
Фазовое пространство QP 2 N Яр-> Рр
Пространство состояний QTP 2N + 1 ^р! Рр
Пространство востояний
и энергии QTPH 2N+2 Яр, *, Рр,Н\ ИЛИЯ,., хуг
Здесь и во всем разделе Д (если не оговаривается противное) маленькие
греческие индексы пробегают значения 1, . . ., N, а маленькие латинские
индексы - значения 1, . . ., N + 1, причем условие суммирования по
повторяющимся индексам выполняется в каждом случае.
Пространства представлений в приведенной таблице перечислены в порядке
возрастания размерностей. Мы будем рассматривать их в другом, несколько
более удобном порядке.
Наша цель состоит в том, чтобы представить динамическую теорию совершенно
абстрактным образом Так, чтобы полученные результаты могли быть приложимы
вне
!) Могут быть рассматриваемы также другие пространства представлений,
такие как ЗЛ'-мерное пространство с координатами
<7р, др, рр, используемое П. Дираком [см. сборник: Вариационные принципы
механики, под ред. JI. С. Цолдка, Физматгиз, Москва, J950, стр. 705 -
722]. {Прим. перев.)
§ 62]
ПРОСТРАНСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
201
традиционной ньютоновой динамики. Но для того чтобы сохранить связь с
источником этой теории, рассмотрим кратко эти пространства представлений
в ньютоновой системе (голономной, склерономной или реономной) с N
степенями свободы и обобщенными координатами qp.
Система имеет лагранжиан L(q, t, q) и движется в соответствии с
лагранжевыми уравнениями движения (§ 46); соответственно она имеет
гамильтониан H(q, t, р) и движется согласно уравнениям Гамильтона (§ 47).
Мы будем называть систему консервативной, если t не входит явно в Н (или,
что эквивалентно, не входит в L), так что имеем
это выражение, так же как и (47.9), заключает в себе соотношение
Н = Е, (62.2)
являющееся константой движения. Все движения, для которых Е имеет одно
общее для всех движений значение, составляют изоэнергетическую
динамику1).
Простейшим из всех пространств представлений является Q. Если система
состоит из одной частицы, движущейся в обычном пространстве, то Q -
обычное пространство; а если частица под действием связей вынуждена
двигаться по поверхности или по кривой, то пространство Q есть эта
поверхность или кривая. Однако картина траекторий в целом несколько
усложнена, потому что траектория не определяется точкой пространства Q и
направлением в Q (т. е. отношениями dqi : dq2 : : dqN).
Для консервативной системы заданному направлению в точке соответствует
оо1 множество траекторий (например, частица в гравитационном поле). Для
неконсервативных систем имеется оо2 множество траекторий.
Множество всех траекторий в целом легче представить себе в пространстве
QT; в нем траектория определяется
г) Семейство орбит, имеющих одну и ту же постоянную энергии, называется
также естественным семейством', ср. Уиттекер [28], стр. 425.
202 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
точкой и направлением в ней (т. е. отношениями dqp. dq2. . . . : dqN :
dt, которые являются обобщенными скоростями). Это относится и к
консервативным и к неконсервативным системам. Более того, рассмотрение
времени t наравне с координатами qp делает пространство QT подходящим
основанием для релятивистской динамики.
Пространство PH имеет более второстепенное значение. Им полезно
пользоваться, когда рассматриваются столкновения, в которых некоторое
количество частиц, находившихся первоначально в свободном движении,
попадает под влияние друг друга, а затем удаляются друг от друга, причем
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed