Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 52

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 124 >> Следующая

выражается в том, что размерность ее изменяется, а именно, умножается на
время.
§ 58] УДАРНЫЙ ИМПУЛЬС И МОМЕНТ УДАРНОГО ИМПУЛЬСА 187
Интегрируя уравнения движения в других формах по короткому промежутку
времени и переходя к пределу так же, как это было сделано выше, мы
получим законы для ударного импульса из законов обычной динамики. Таким
образом, уравнение (44.2) приводит к теореме об изменении импульса для
движения под действием ударных импульсов, выраженной в следующем виде:
AM = F, (58.4)
где F - сумма всех внешних ударных импульсов, а (44.4) приводит к
уравнению
mAv=F, (58.5)
где v - скорость центра масс системы. Кроме того, согласно уравнениям
(44.5) и (44.7) имеем соотношения
A h = G, A h* = G*\ (58.6)
первое уравнение относится к случаю какой-нибудь неподвижной точки,
второе - к случаю центра масс; здесь G и G* - моменты ударных импульсов.
Однако, что касается энергии, то переход от обычной динамики к динамике
движений под действием ударного импульса нельзя осуществить таким простым
путем. Согласно уравнению (45.3) приращение кинетической энергии системы
равно
12 , t% Р
АТ = ^ W dt = J ^ Ft -rt dt, (58.7)
11 t\ i=l
где суммирование производится по Р частицам, которые образуют систему. Но
когда мы переходим к пределу, устремляя силы к бесконечности, а интервал
времени ^2 - ti - к нулю, то получаем следующее уравнение:
A T = j]Frvu (58.8)
i=l
где Vf - неизвестные средние значения скоростей. Хотя, может быть, и
удобно говорить о работе импульса, однако мы не будем связывать ее с
приращением энергии. Дело в том, что в динамике движения под действием
ударного
188 ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ УДАРНОГО ИМПУЛЬСА [ГЛ. IV
импульса механическая энергия может превращаться в теплоту; этой форме
энергии нет места в ньютоновой динамике1).
Рассмотрим теперь уравнения Лагранжа (46.17) для голономной системы. Так
как обобщенные скорости остаются конечными при переходе к пределу, то
получаем уравнения
А^ = <?р (Q == 1 ЛО. (58.9)
дЯр
где Qp - обобщенный ударный импульс, который может быть вычислен, если
использовать понятие работы ударного импульса, по формуле
N л Р
2 Qp6qp = 6W = 2 Ft .6r*. (58.10)
p=i i=i
Математические проблемы динамики движения под действием ударного импульса
гораздо проще, чем проблемы обычной динамики, потому что вместо
дифференциальных имеют место только алгебраические уравнения.
§ 59. Соударения. Коэффициент восстановления. Развитие теории соударений
было вызвано (в значительной степени) играми с шарами, в частности
биллиардом; в то же время эта теория доставляет модели для молекулярных
столкновений, когда принимаются в расчет моменты импульса2).
Рассмотрим два твердых тела, Si и S2, движущихся произвольным образом. В
некоторый момрнт времени они коснутся друг друга и продолжение их
движения должно было бы вызвать вдавливание их друг в друга; этого не
происходит благодаря действию пары ударных импульсов, равных по величине
и противоположных по направлению, приложенных в точке контакта С (рис.
28)
1) В теории относительности тепло, возникающее при соударении, включается
в схему механики с помощью возрастания собственной массы; ср. § 12 и
Synge J. L., Relativity (the Special Theory), стр. 184, North-British
Publishing Co, 1956.
2) В § 52 соударяющимися телами были частицы без моментов импульса.
§ 59] СОУДАРЕНИЯ. КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ 189
Пусть О j, О 2 - центры масс в момент столкновения и ri, г2 - радиусы-
векторы точки С соответственно относительно точек Ои 02. Пусть rrii, т2 -
массы тел, а ш> v2 - скорости центров масс перед соударением, hi, h2-
моменты импульса для центров масс также перед столкновением. Те же
величины после соударения отмечены штрихами. Пусть -F и F - обозначения
ударных импульсов, действующих соответственно на тела .Si и S2.
Тогда уравнения (58.5) и (58.6) можно переписать в виде
F, т2 (у' - v2) = F, ¦riXF, h\ - h2 = r2X F.
(59.1)
"ii(t>; -t"i) = h[ - hi =
Здесь t>i, v2, hi, h2, n, r2 - известны и, таким образом, имеем 12
скалярных уравнений для 15 неизвестных, а именно, для компонент пяти
векторов,
o', t>2, h[, h'2, F. (59.2)
Так как известны положения тел и моменты инерции, то h\ определяет
угловую скорость со', и обратно; то же верно относительно А' и со'. Таким
образом, без дополнительных предположений проблема определения движения,
получающегося в результате соударения, имеет 15-12 = 3 степени произвола.
Мы предполагаем теперь, что тела гладкие1); это означает, что ударные
импульсы действуют под прямым углом
Рис. 28. Столкновение твердых тел.
х) Детальное исследование соударений шероховатых или гладких тел см.
Hamel [11], стр. 395-402; Routh [22], I, стр. 257-266; Bouligand G.,
Mecanique rationelle, гл. 18, 19 (Paris, Vuibert, 1954); Poschl Th.,
Handbuch der Physik, т. 6, стр. 503-525 (Berlin, Springer, 1928).
Исследование с помощью моторного исчисления (Motorrechnung) см. R a h е г
W., Ost. Ing.- Arch., 9, 55 (1954). Соударение двух гладких упругих шаров
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed