Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
попарно равны и противоположно направлены вдоль прямых, соединяющих их
(подобно действию и противодействию в третьем законе Ньютона). Хотя они и
появляются такими "взаимно уравновешивающимися" парами, это именно
ударные импульсы Ft, а не ударные импульсы Ru обусловленные связями;
последние и будут представлены в тех жестких связях, которые остаются
после взрыва неразрушенными.
По тем же геометрическим соображениям, согласно которым реакции
обыкновенных жестких связей не совершают работы, имеет место уравнение
2А--К; = 0. (60.6)
!) Кинетическая энергия не изменяется в исключительном случае, когда
внезапное наложение связей не изменяет скорости. Исключительные случаи,
подобные этому, опускаются в формулировках и доказательствах.
2) В данном случае под термином "жесткие" автор подразумевает связи,
удерживающие некоторые из частиц системы на постоянных расстояниях друг
от друга. (Прим. перев.)
13 Дж. д. Синг
194 ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ УДАРНОГО ИМПУЛЬСА [ГЛ. IV
Здесь Vi - скорости перед взрывом. Имеем также уравнение
2Дго* = 0, (60.7)
а отсюда, полагая в уравнении (60.1) и>г = иг, получаем
2 га, (v'i- Vi)-vt = 0. (60.8)
Следовательно, приращение кинетической энергии можно представить
положительно определенным выражением
Т' - Т = у 2 miVi'Vi ~ у 2 miVi'Vi =
= ^'2iml(v\-vi)-(v'i-vi)>0. (60.9)
у) Теорема Кельвина. Если система, первоначально находившаяся в покое,
приведена в движение ударными импульсами, приложенными к некоторым
определенным частицам системы, причем ударные импульсы таковы, что
скорости этих частиц приобретают наперед заданные значения, то
кинетическая энергия этого движения меньше, чем кинетическая энергия
любого мыслимого движения, возможного при связях, наложенных на систему,
для которого все указанные частицы имеют те же наперед заданные скорости.
Пусть vt - действительные скорости и vl - скорости в мыслимом движении,
так что для выбранных частиц v\ - v\. Тогда если wt = v\ - vl, то имеет
место уравнение
о, (60.Ю)
л
потому что Pi = 0 для всех частиц, кроме выбранных, а для них wi = 0.
Кроме того, выполняется уравнение
'ZRrwi = 0, (60.11)
так как vl, vl удовлетворяют связям. Полагая в уравнении (60.1) vt = 0
(так как первоначально система находится в покое), имеем уравнение
2 miVi-(v'i - vl) = 0. (60.12)
Отсюда Т"-Т' можно представить положительно опре-
S 60]
минимальные теоремы
195
деленным выражением
б) Теорема Бертрана. Пусть на некоторую движущуюся систему действуют
данные ударные импульсы, вследствие чего ее кинетическая энергия делается
равной Т'. Тогда Т' > Т", где Т"- кинетическая энергия, возникающая
вследствие приложения тех же ударных импульсов к системе в том же
начальном движении, но подчиненной связям, совместным с этим движением.
Пусть vt - начальные скорости, v\- конечные скорости при отсутствии
дополнительных связей и v\ - скорости при наличии этих связей. Если R\ и
R'l - ударные импульсы связей в этих двух случаях, то имеем уравнения
принимая во внимание только дополнительные связи. Поскольку согласно
уравнению (60.1) Pt - заданные ударные импульсы, то получаем уравнения
Затем, вычитая их друг из друга, получаем уравнение
Поэтому Т'-Т" можно представить положительно определенным выражением
2д-.1* = 0, = 0, (60.14)
(60.15)
- v"i)-Vi = 0.
(60.16)
(60.17)
13*
Д. ОБЩАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ГЛАВА I
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИКИ
§ 61. Значение общей динамической теории. Наиболее очевидная цель всей
динамики состоит в том, чтобы решать динамические проблемы, которые
возникают в физике и астрономии. Начав с рассмотрения физической модели
(§ 2), такой, например, как солнечная система, мы переходим к
соответствующему математическому понятию или математической модели, и
пытаемся решить дифференциальные уравнения, относящиеся к этой модели.
Однако в общем недостаточно ясно, что мы подразумеваем, когда говорим о
решении системы дифференциальных уравнений. В самом деле, проблема
считается решенной, когда координаты частиц модели в момент времени t
выражены как простые функции времени t и тех параметров, которые
определяют их начальные положения и скорости. Но что такое простые
функции? Мы будем, далее, считать функцию f(t) неформальным выражением,
содержащим t, а величиной, определяемой переменной t, тогда невозможно
четко разграничить простые и непростые функции. Если мы опускаем слово
простые и говорим только функции, то каждая динамическая проблема
разрешена как только она хорошо сформулирована, потому что
дифференциальные уравнения с начальными условиями и начальным значением t
определяют координаты в момент времени t. Это не только "домыслы"
математиков, но и реальный факт, потому что в современных методах
численного решения динамических проблем с помощью электронных
вычислительных машин можно получить решение с любой желаемой степенью
точности после замены дифференциальных уравнений разностными. Например, в
баллистике этот современный
§ 61] ЗНАЧЕНИЕ ОБЩЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 197
