Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
фиксированности конечных точек, то кривая Г удовлетворяет уравнениям
Эйлера - Лагранжа:
d_ ЗА _ ЗА = а (65 ^
du дхт дхт
Мы можем рассматривать эти уравнения как лагранжевы уравнения движения, а
кривые, удовлетворяющие им, как лучи или траектории*).
Вариационное уравнение
б ^ Л (х, х') du = 0 (65.4)
для случая с закрепленными концами эквивалентно системе дифференциальных
уравнений (65.3). Назовем уравнение (65.4) первой формой принципа
Гамильтона2). Этот принцип можно также написать в виде
б ^ L(q, t, q)dt - 0, (65.5)
х) Слово траектория связывает математическое понятие с физическими
понятиями динамики. Слово луч связывает его с оптикой, так что может
показаться, что ему нет места в настоящем изложении. Однако волновая
механика де Бройля и Шредингера уничтожила барьер мещду динамикой и
оптикой. Если в динамике нам нужно слово волна, то слово луч естественно
сопровождает его. Более того, настоящее изложение общей динамической
теории столь же обязано методу Гамильтона в оптике, сколько и его методу
в динамике, так как в его оптике все координаты были равноправны, тогда
как в его динамике время было на особом положении.
а) С математической точки зрения (65.3) и (65.4) являются различными
способами выражения одного и того же утверждения. Мы видим здесь пример
многозначности словоупотребления; однако, как было указано в § 2, слова
важны. Дифференциальные уравнения (65.3) не могут быть выражены в словах,
которые бы более ясно осветили суть дела, чем голые формулы. Наоборот,
принцип Гамильтона может быть выражен таким образом: лагран-жево действие
имеет стационарное значение для действительной траектории. Эти слова
легче связать с физическими понятиями, чем математические формулы.
216
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT)
[ГЛ. II
при фиксированных значениях qp и t на концах; он приводит сразу же к
лагранжевым уравнениям движения в следующей форме (ср. с (46.18)):
1 А _ А = 0. (65.6)
dt dqp dqp
Эти уравнения эквивалентны системе (65.3). Появляющееся здесь выражение
называют лагранжевой производной функции L.
Система (65.3) состоит из N + 1 уравнений, а (65.6) - только из N. Однако
уравнения (65.3) не являются независимыми, так как в силу однородности
функции Л имеет место следующее тождество:
d ЗА дА\ d ( ,дА \ ,, дЛ , дА
¦-7------------=-------- \Хт Г - хт -------- Хт----=
du дхГ дхг j du \ дх'г j дх^ дхг
dA dA =0. (65.7)
du du
При условии, что уравнения (65.6) можно разрешить
относительно qp (а мы будем предполагать, что это можно сделать), эти
уравнения определяют в пространстве QT луч, соответствующий заданным
начальным значениям
переменных qp, t, qp. Тогда через каждую точку хТ пространства QT и в
каждом направлении (определенном отношениями dxi: dx2: : dxN+l)
проходит единствен-
ный луч или траектория.
Мы можем употреблять термин А-динамика, когда нужно сказать, что теория
основана на вариационном уравнении (65.4) и его экстремалях (65.3).
Аналогично можно ввести термин L-динамика для уравнения (65.5) и
экстремалей (65.6).
По существу, они эквивалентны друг другу; А-динамика есть форма Л-
динамики, в. которой t рассматривается двояко: как координата в
пространстве QT и как параметр на кривой в QT. Мы объединим их под общим
названием лагранжева динамика.
§ 66]
ДВА ПРИМЕРА
217
§ 66. Два примера. Лагранжевы уравнения (65.6) связывают наиболее часто
встречающиеся динамические системы и излагаем абстрактную теорию. Эта
теория приложима ко всем физическим системам, которые ведут себя согласно
уравнениям (65.6), независимо от того, действительно ли эта система
динамическая или нет. Система может состоять из электрических контуров с
обобщенными скоростями, соответствующими токам. В чисто динамической
области благодаря (46.18) настоящая теория приложима ко всем голономным
системам, для которых обобщенные силы можно получить дифференцированием
потенциальной функции или обобщенной потенциальной функцию. В таких
системах кинетическая энергия всегда выражается через квадраты обобщенных
скоростей и таким же является лагранжиан L( = Т - F), когда V - обычная
потенциальная функция. В настоящей
общей теории на функцию L(q, t, q) не накладывается никаких таких
ограничений; ее можно считать произвольной функцией 2-/V+1 аргументов.
Приведем два примера, иллюстрирующих общие выводы.
а) Релятивистская система (PC). Берем однородный лагранжиан
Л (х, х') =V brsx'Tx's + Агх'Т, (66.1)
где brs (= ЬйГ) и Аг - функции переменных хг. Это - обобщение
релятивистского лагранжиана для случая заряженной частицы, движущейся в
заданном электромагнитном поле1). Однородный лагранжиан проще чем
обычный, который согласно обозначениям (64.11) имеет вид
L (q, t, q) = (bpaqpqa + 2bPt N + lqp + bN + l: N + i)1/2 +
+ АрЯр + '4jv+i. (66.2;
P) Обыкновенная динамическая система '(ОДС). Это голономная,
склерономная, консервативная система с
Э Ср. с § 114.
218 ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT) [ГЛ. II
обычной потенциальной функцией, так что
