Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
как показано на рис. 18.
Рис. 15. Графики функции f(u): захват в случае Сi и Сг, рассеяние в
случае 2.
Рис. 16. Захват: г -* О при t -" оо.
Рис. 17. Захват: г при t -" оо.
'¦о
Если не рассматривать лобовые соударения, для которых 6 = 0, то ясно, что
захват невозможен в случае силы отталкивания, так как такая сила
отклоняет траекторию от точки О.
10*
148
СИСТЕМ Ы'ВЕЗ СВЯЗЕЙ
[ГЛ. II
Предполагая теперь, что имеет место рассеяние (сила либо отталкивающая,
либо притягивающая), перейдем к вычислению угла рассеяния %R, показанного
на рис. 18. На чертеже показаны также полярная ось Ф ¦= 0, две
(Ug)K*w'
Рис. 18. Рассеяние в релятивистской системе SR: угол рассеяния есть угол
Хн-
асимптоты орбиты и апсида А, для которой имеет место
условие ^ = 0. Апсидальное расстояние равно
О А = г о = - и апсидальный угол, как показано,
щ
равен
u° rln
а = Р . (52.8)
\ Vt (и)
Так как орбита симметрична относительно апсидальной прямой ОА, то угол
рассеяния %R будет
U0 Ни
Хя = л-2а = л- 2Г . (52.9)
\ Vi (и)
§ 521
ЗАХВАТ И РАССЕЯНИЕ
149
Если принять для знаков введенное выше условие, то для рассеяния
отталкивания 0 < х < л, а для рассеяния при притяжении имеем -оо < %л <
0. Для того чтобы вычислить %, надо оценить интеграл, верхний предел
которого определяется решением уравнения
/ Ы = 0, / (и) = i - - и2. (52.10)
b Ь W
Угол рассеяния % является, таким образом, функцией двух основных
параметров (b, го):
t = %(6> w)\ (52.11)
вид этой функции зависит от вида функции Е(п), полученной из силовой
функции Р(г) по формуле (52.4).
Обозначим штрихами конечные скорости. Согласно
(51.3) имеем в системе Sr уравнение
(52.12)
интегрирование дает следующее условие:
(^2 )л = (^г)л- (52.13)
Так как
("0я = (О)в = 0, (52.14)
то имеем инвариантное уравнение
w' = w, (52.15)
справедливое во всех системах отсчета; величина относительной скорости
частиц не изменяется при столкновении. Если обозначить через sR единичный
вектор направления рассеяния, то конечную скорость можно записать в виде
(пг) r - wsr- (52.16)
Переходим теперь к системам отсчета SM и SL. Это -
ньютоновы системы и, следовательно, в них сохра-
няется импульс. Кроме того, относительная скорость инвариантна
относительно изменения системы
150
СИСТЕМЫ БЕЗ СВЯЗЕЙ
1ГЛ. IJ
отсчета. Отсюда имеем уравнения т2 (v2)M + mi (v[)M = 0,
(сг)м - (vi )м = w- WSr,
(v2)l mi (vi)l = т2 (v2)l = m2w,
(v2)l - (v'l)b = w' = WSr, которые дают конечные скорости в виде
(mi т2) (а)м = ~ m2wsR,
(mi т2) (v2)m = miWSR,
(mi т2) (v{)l = m2w - m2wsR,
(mi m2) (v2)l - m2w miWSR-
(52.17)
(52.18)
Поэтому единичные векторы sM и sL направлений рассеяния (т. е.
соответственно направлений (v'2)M и (vQL)
определяются выражениями
mjc miSR
V
2
mi -
-т2 + 2mim2k'SR
(52.19)
Здесь к, как и выше, единичный вектор направления начальной относительной
скорости w, которая имеет то же направление, что и (v2)L. Отметим, что
направления рассеяния одни и те же в системах SR и SM и что направление
рассеяния для SL выражено через его направление в системе SR формулой
(52.19).
Построим теперь сферическое представление рассеяния (рис. 19),
видоизменив рис. 14 для трехмерного случая. Вектор w (начальная
относительная скорость) задан, но мы рассматриваем все векторы удара Ь,
перпендикулярные к нему. Ради удобства чертежа мы проводим Ь
Рис. 19. Сферическое представление рассеяния.
§ 52]
ЗАХВАТ И РАССЕЯНИЕ
151
в смещенной плоскости П и строим единичную сферу с центром в точке О и со
сферическими полярными координатами (0, ф) на ней. Процесс рассеяния для
данного Ь дает единичный вектор рассеяния s, с концом в виде точки на
единичной сфере. На самом деле, рассеяние отображает плоскость П на
единичную сферу. В системах SR и SM имеет место одно и то же отображение,
в S L - отличное от них.
В системе SR мы имеем в соответствии с рис. 18
Ъ .
sn = sin Хд i- k cos Хд =
= i cos ф0 sin хд + j sin ф0 sin %R + k cos Хд, (52.20)
где ф0 - азимут вектора Ь относительно единичных векторов i, j, которые
вместе с вектором к образуют ортогональный триэдр; таким образом, углы
(0Д, фд) для вектора sR определяются следующими выражениями:
Для рассеяния при отталкивании имеем равенства
а для рассеяния при притяжении (зависящего от величины угла Хя> который
согласно теории может принимать любое отрицательное значение) имеем две
следующие возможности:
sin (c)д cos фд = sin Хд cos ф0, sin 0Д sin фд = sin хд s п ф0, cos 0А =
cos Хд
(52.21)
(0 < 0д < я, О < фд < 2я)
(c)я = Хя, фд = фо,
(52.22)
Фя = Фо, (c)я = Хя, либо Фд - я -р фо, 0Д= - Хд.
(52.23)
Получив, таким образом, углы (0Д, фд) для вектора $н (углы (0М, фм) те же
самые), найдем углы (0^, ф;) для sL
152 СИСТЕМЫ БЕЗ СВЯЗЕЙ [ГЛ. II
из уравнений (52.19). Имеем следующие выражения: sin 0L cos cpL = P sin
0Я cos q>H,
sin 0L sin cpL = |5 sin 0H sin q>H,
cos 0L = p (- + cos 0H) , \ ml I
P
. i ТП2 I о a
1 4- -- 4-2 - cos 0Д
(52.24)
Поэтому
Ф L sin 0L
фд,
p sin -0H, sin 0H
