Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
b b w
где
"° = , 2 2 b W
L (_ к + Vk2 + 6V),
Mi =
L-(k + Vk2 + bV). (52.42)
5 u;
Согласно (52.9) угол рассеяния выражается следующим образом:
"° du
Хя = я - 2 Г - ¦ , " =
'о К ("о - м) (м + м,)
= я - 4 arctg 1/ - , (52.43)
У U{
так что для к > 0 выполняется условие 0 < Хя < я и для к < 0 имеет место
условие - я < Хя < 0; таким образом, в обоих случаях (c)я = | Ха I• Из
выражений (52.42) получаем
Гий Vк2 + 7> V - к (РЛМ1
52|
ЗАХВАТ И РАССЕЯНИЕ
157
Подставив в (52.43) это отношение и решив полученное уравнение, находим
bw2 - к ctg -д- %я = | к | ctg - 0Я.
(52.45)
2 ЛЯ 1 " 1 2 Согласно (52.34) плотность имеет следующее значение:
Om = Or
sin (c)г
db
d@R
Ь2 А
cosec4-j 0Н. (52.46)
Это формула рассеяния Резерфорда; она справедлива для кулонова поля как в
случае притяжения, так и в случае отталкивания. Для системы отсчета SR
энергия другой
частицы на бесконечности равна ~m2w2.
Для лабораторной системы имеем согласно уравнениям (52.25) и (52.36)
tg 0:
&2 4 1 л
От = -г cosec - (c)I L 4ш4 2
sin 0д
тп2
ТП\
+ cos (c)д
1 + mj + 2 пн cos 0д TTli m 1
А I т2 гл
1 + - cos 0д TTli
(52.47)
таким образом, 0Ь и aL выражены через параметр 0д. Для двух частиц одной
и той же массы mi = т2 получаем уравнения
1 к2
&L = -Ту (c)д, • Од = - cos 0д cosec4 (c)L. (52.48)
Z IV 4
у) Закон 1 /г3. Принимаем
(ц) = - /си2, /с 2
mi + т2
Ц . (52.49)
г z mim2
(к > 0 для отталкивания, /с < 0 для притяжения).
158 СИСТЕМЫ ВЕЗ СВЯЗЕЙ |ГЛ. II
Согласно (52.10) имеем
/("' = ?-"!(й?+1)' (52'60)
Захват происходит, если к < -b2w2. Если к превышает это значение, то
имеет место рассеяние с углом
" ^i0 du (. bw
Хй = я - 2 V = я ( 1
VJJa) \ Vk+b
и0
(52.51)
V~k -f- b2w2 В случае отталкивания имеем 0д = Хя и
к я2
5V (я - 0д)2
откуда
1, (52.52)
я 2к я - 0,
ам= ад = -.__2-- (52.53)
Wsin 0д 0д (2я - 0д)
5) Закон 1/г5 *). Принимаем
Р (г) = -t- , V (п) = - кп2, к = т±.1(tm)2 (52.54)
г 2 mi т2
Мы имеем согласно (52.10) выражение для функции . 1 ки> 2
/(В) = -?"2Л?"" =
h (ug - и2) (и2 + и2), (52.55)
26V
*) Отталкивание, изменяющееся обратно пропорционально пятой степени
расстояния, имеет значение в кинетической теории газов; ср. С h а р m а n
and С о 1 w 1 n g (цит. соч. в предыдущем примечании, стр. 170-174), где
рассматриваются силы, зависящие от любой степени расстояния.
й 531
ПРОБЛЕМА я тел
159
гдо
и2 = J (- b2w + VbV + 2к),
(52.56)
и\ = (b2w + V b^w2 + 2к).
Угол рассеяния определяется эллиптическим интегралом
§ 53. Проблема п тел. Проблемой п тел называется задача о движении п
частиц, притягивающихся друг к другу с силой, обратно пропорциональной
квадрату расстояния между ними. Если тяг (i = 1, . . ., п) - массы
частиц, п - их радиусы-векторы и nj = - г л = гг - г;, то уравнения
движения имеют вид
где G - гравитационная постоянная.
Система имеет три интеграла импульса и три интеграла момента импульса; в
векторной форме они имеют вид
4 bw
Хя = л -
V2к \ VI
Цо - и2) (и2 + и\)
П
(53.1)
П
2 ШгП - М = COnSt,
!= 1
11
(53.2)
2 Шхп Хг i = h - const.
Имеется также интеграл энергии
Т + V = Е = const,
(53.3)
160
СИСТЕМЫ БЕЗ СВЯЗЕЙ
[ГЛ. II
Скорость центра масс постоянна, и мы можем, если хотим, принять систему
отсчета, в которой центр масс всегда неподвижен.
Эти семь интегралов существуют также, если действуют силы более'общего
типа, при условии, что они подчиняются третьему закону Ньютона и зависят
только от взаимных расстояний, между частицами. Закон обратной
пропорциональности силы квадрату расстояния заключен в уравнении Якоби,
которое имеет вид
d20>
2 = 2Т + V, (53.5)
dt где
Ф = { 2 т,г'. (53.6)
i =1
Этот поразительный результат легко доказать1), исходя из уравнений
движения в форме Гамильтона (§ 47) для системы с N степенями свободы,
имеющей гамильтонову функцию вида
H(q,p) = Т(р) + V(q), (53.7)
где Т - однородная функция второй степени
относительно обобщенных импульсов (р) и V - однородная
функция степени -1 относительно обобщенных координат (q). Гамильтонова
функция проблемы п тел имеет именно эту форму. Благодаря однородности
функций Т и V справедливы уравнения
2 = гг, 2 дР = - у- <53-8)
р =! dpe pti dq9
Если определить гГ следующим образом:
x?=ipPq", (53.9)
p=i
1) Ср. Уиттекер [28], стр. 389, где дано другое доказательство.
§ 53] ПРОБЛЕМА п ТЕЛ 161
то, согласно уравнениям Гамильтона (47.7), имеет место уравнение
dW ъ I дН 8Н \ , т/ /го "т
-17= Z \Рр -Z--------z- 7р = 2T + V. (53.10)
at р =i V opр dqp J
Это общая форма уравнения Якоби; в случае проблемы п
тел имеем уравнение
^=2 rntnn = ^ Гр7р = ^. (53.11)
Р=1
* i=i
а (53.10) приводит к уравнению (53.5).
Величина
(r)' = 4 S тг (53',2)
*i.j=1 т
j>i
где М - полная масса системы, не зависит от системы
отсчета, и легко видеть, что Ф' = Ф, если за начало коор-
динат выбран центр масс. Отсюда уравнение Якоби можно также переписать в
виде
^=2 Г+F, (53.13)
dt2
где Т' - кинетическая энергия относительно центра масс.
Если н = 2, имеем проблему двух тел (§ 51), которая легко решается. Но
