Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 43

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 124 >> Следующая

m2
mi
+ cos 0H
(52.25)
Последнее уравнение ограничивает угол (r)L пределами (О, л). Отметим еще
следующую формулу:
sin 0Н dQд sin3 (c)i
1
sin 0 r dQi
sin 0 ь m2
14- - cos 0H
mi
1 4- -f 4- 2 - cos 0H
mi mi
Я/2
14- - cos 0H
mi
(52.26)
Рассмотрим столкновения с начальными элементами (6, w) (см. рис. 19), с
фиксированной относительной скоростью ю и с переменным вектором
соударения 6. Мы рассматриваем Ъ как радиус-вектор точки в плоскости И,
тогда любой точке плоскости И соответствует один из двух результатов -
захват или рассеяние. Определим полное поперечное сечение захвата как
площадь Пс плоскости И,
ЗАХВАТ И РАССЕЯНИЕ
153
соответствующую захвату; Пс может быть нулевой, конечной или бесконечно
большой величиной.
Можно представить процесс рассеяния как отображение П (за исключением
площади Пс) на единичную сферу с помощью вектора рассеяния s, причем
отображения совпадают для систем SR, SM, а отображение в SL отличается от
них. Определим дифференциальное поперечное сечение рассеяния в телесном
угле dQ как площадь dll, которая отображается на элемент dQ единичной
сферы. Обозначая их отношение через о
получим для дифференциального поперечного сечения равенство
Назовем о плотностью', это действительно относительная плотность
вероятности на единичной сфере, соответствующая постоянной плотности
вероятности на П. Существуют, конечно, две плотности ам = aR и oL.
Целесообразно различать два случая рассеяния: нулевое рассеяние (0 = 0) и
рассеяние под конечными углами (0 > 0). Нулевое рассеяние может иметь
место тогда и только тогда, когда с ростом расстояния взаимодействие
прекращается, т. е. если Р(г) = 0 для г > г4, так что если b > rj, то
частицы минуют одна другую, не изменив своего прямолинейного движения.
Определим полное поперечное сечение рассеяния как площадь П3 плоскости П,
соответствующую рассеянию под конечными углами; таким образом,
где несобственный интеграл берется по поверхности единичной сферы с
исключенной точкой 0 = 0. Если П0- площадь на плоскости П,
соответствующая нулевому рассеянию, то полная бесконечная площадь П = Пс
-j- ns -j- П0 и, следовательно, по крайней мере одна из площадей II,.,
П,, П0 бесконечно велика.
a dQ = dn.
(52.28)
(52.29)
154
СИСТЕМЫ БЕЗ СВЯЗЕЙ
[ГЛ. 1
Определение плотности а сводится к нахождению отношения отображения
(52.27). Вектор рассеяния есть
s = isin 0 cos ф + j sin 0 sin ф + к cos
он описывает телесный угол
d?l = | sin 0 dQ йф |.
Отсюда
_ _ | Ъ dp йф01 _ b
dQ | sin 0 d0 йф | sin 0
db
dQ
(52.30)
(52.31) , (52.32)
так как йф0 = йфд ~ dtp L.
В системе SR нам известен угол Хя как функция (b, w) (ср. (52.11)).
Найдем b как функцию (%R, w) и подставим затем Хя = (c)я (52.22) для
рассеяния при отталкивании и Хя = ± (c)я + 2я/с (52.23) для рассеяния при
притяжении. Таким образом, получим1)
Ь=Ь(вя,и>). (52.33)
Из выражения (52.32) находим значение плотности в виде
- стя -
sin 0г
db
dQ,
(52.34)
правая часть, очевидно, есть функция 0Д и w; здесь, как и при других
дифференцированиях, w считается постоянным.
Для лабораторной системы отсчета SL получаем из выражения (52.32)
СГг. =
db
sin 0r, | dQ,
= СГд
sin 0Д dQR sin 0L dQL
(52.35)
и согласно (52.26) это выражение можно переписать
1) Это может быть многозначная функция в случае рассеяния при притяжении.
§ 52]
ЗАХВАТ И РАССЕЯНИЕ
155
следующим образом:
л
- COS 0д
(52.36)
= ОГд
я
Мы хотели бы выразить oL как явную функцию 0L и w, но не можем сделать
этого. Наилучшая возможность - считать формулы (52.25) и (52.36)
выражениями 0L и aL через параметр 0Я для данного w. Можно, однако,
написать упрощенное приближенное выражение в том случае, когда отношение
масс m2lnii мало, так как тогда &L и oL мало отличаются от 0Я и oR.
Ввиду симметрии отображения относительно оси к (см. рис. 19) часто удобно
употреблять дифференциальное поперечное сечение рассеяния в кольце 0,0 +
dQ. Это площадь плоскости П, которая отображается на кольцо,
Рассмотрим более детально некоторые специальные случаи рассеяния:
а) гладкие упругие шары. Столкновение между двумя гладкими упругими
шарами можно рассматривать как удар двух частиц с прекращением
взаимодействия при г = D, где D - сумма радиусов шаров; мы принимаем V(u)
= 0 для и < 1/D и V(u) -> со, когда u->\/D снизу. Решением уравнения
(52.10) является и0 = 1 ID и согласно
(52.9) угол рассеяния равен
и ее величина равна
2nasin 0 | d& | = 2nb\db
(52.37)
Уд = л - 2 f - ^U = л - 2 arcsin - . (52.38)
}Vb-2- и2 D
156 СИСТЕМЫ БЕЗ СВЯЗЕЙ 1 ГЛ. II
1 ]
Таким образом, b - D cos -j Хя = D cos-^ (c)д и согласно
формуле (52.34) плотность определяется выражением стм = = ~~j~
D , (52.39)
которое не зависит от 0Д и w. Для того чтобы получить crL,
надо применить (52.25) и (52.36).
Р) Кулоново рассеяние. Возьмем
р (г) = , V (и) = ки, к = -i+.'g? ц (52.40)
г т\т2
(к > 0 для отталкивания, А: < 0 для притяжения). Тогда согласно (52.10)
имеем
1 9ки
/ (и) = -2---Г2"2 - = ("о - ")(" + Ml), (52.41)
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed