Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
оо^002 = 0. )
(55.7)
Уравнения (55.4) и (55.5) являются интегралами этих уравнений. Полагая
тело несимметричным (А, В и С все различны) и выбирая триэдр (i,j, к)
так, что А > В > С, получим аналитическое решение проблемы следующим
путем. Уравнения (55.4) и (55.5) нужно разрешить относительно oil и оз3 и
подставить решения во второе уравнение (55.7). Таким образом получим
дифференциальное уравнение для оо2> решением которого является
эллиптическая функция. Нужно различать два случая в зависимости от того,
какое из соотношений имеет место: /г2 < 2ВТ или /г2 > 2ВТ.
Итак, решение, выраженное через эллиптические функции Якоби модуля к,
таково1): для /г2 > 2ВТ: я"! = a dnр (t - t0), оз2 = Р sn р (t - to),
оз3 = у си p (t - to),
/ 2AT-h2 , /~(h2-2CT) (A-B)
V В (A-B) ' V ABC ' ¦
V A-B h2- 2CT ___________________________________________________ (55.8)
x) Если h2 = 2ВТ, то решение экспоненциальное; ср. R о u t h [22], II,
стр. 120.
§ 55] ТВЕРДОЕ ТЕЛО, НА КОТОРОЕ НЕ ДЕЙСТВУЮТ СИЛЫ 169
для А2 < 2ВТ:
он = a cn р (t - t0), о)2 = Р sn р (t - t0),
о)3 = Y (Inp (t - t0),
h i z -B A - 2CT
С 2A T - A2
В обоих случаях имеем
_л[ h2-2CT _ ЛГ а V А (А - С) ' у V С (А - С)
2АТ - h
(55.9)
(55.10)
Как только найдены эти компоненты угловой скорости, описание движения
завершается введением углов Эйлера O', ф, ф (§ И), описывающих положение
триэдра (i, j, к) относительно неподвижного триэдра (/, J, К). Выбирая К
совпадающим по направлению с вектором h, получим O' и ф из уравнений
cos О = , tg ф = - ¦^й>2 , (55.11)
h А с"!
а ф найдем квадратурой из уравнения
sin Оф = о)2 sin ф - о)! cos ф. (55.12)
В этих вычислениях мы воспользовались последней строкой из (11.5) и
(19.4).
Уравнения (55.7) имеют частные решения, в которых какая-либо одна
компонента угловой скорости постоянна, а две другие обращаются в нуль.
Эти решения соответствуют установившимся вращениям вокруг трех главных
осей.
Чтобы исследовать устойчивость этих установившихся движений, заметим, что
(55.4) и (55.5) можно также
170 ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ИМЕЮЩЕЕ ОДНУ НЕПОДВИЖ. ТОЧКУ [ГЛ. III
выразить через компоненты А по осям (i, j, к): А2 + А2 + A2 = А2, ^
Й , hi , Й I (55.13)
ч+гг+<5"27,
Принимая (Ai, А2, А3) за декартовы ортогональные координаты в
пространстве представлений, мы видим, что установившиеся вращения
соответствуют точкам (А, 0, 0), (0, А, 0), (0, 0, А). Изображающая точка
движется по кривой, которая согласно уравнениям (55.13) является линией
пересечения сферы и эллипсоида. Исследуя формы этих кривых, легко
увидеть, что установившиеся вращения вокруг наибольшей и наименьшей осей
инерции устойчивы, тогда как у становившееся вращение вокруг
промежуточной оси инерции неустойчиво1).
Если осью симметрии тела является главная ось инерции, так что А = В фС,
то движение значительно упрощается. Эллипсоид Пуансо становится
эллипсоидом вращения, и мы опишем движение качением прямого кругового
конуса, фиксированного в теле (подвижной полодии), по неподвижному в
пространстве прямому круговому конусу (герполодии). Нужно различать
случаи А > С и А < С; в первом случае один конус находится вне другого, в
последнем - конус полодии (или конус тела) содержит внутри себя конус
герполодии (или пространственный конус)2)!
§ 56. Вращающийся волчок. Волчок представляет собой твердое тело
вращения, которое приведено во вращение вокруг своей оси симметрии и
касается горизонтальной плоскости. Существенная особенность этой системы
состоит в том, что волчок представляет собой твердое тело, движущееся под
действием двух сил, а именно, силы тяжести, приложенной в центре масс, и
силы реакции в точке касания. Поверхности в точке контакта можно
х) Удобство этого представления обусловлено тем фактом, что мы имеем дело
со сферой и эллипсоидом, в то время как если ввести в рассмотрение
угловую скорость, то уравнения (55.4) и (55.5) привели бы нас к двум
эллипсоидам. Об исследовании этих двух приближений (с чертежами) см Шефер
[23], стр. 322-349.
2) Описание и чертежи см. Synge and Griffith [26], стр. 427.
§ 56)
ВРАЩАЮЩИЙСЯ ВОЛЧОК
171
считать гладкими; в этом случае система голономна. Они могут быть
достаточно шероховатыми, чтобы предотвратить скольжение; тогда система
неголономна. Они также могут быть не абсолютно шероховатыми; в этом
случае тело скользит или катится, в зависимости от обстоятельств1).
а) Несимметричный волчок. При обычной математической идеализации
волчок считается твердым телом, с неподвижной точкой О (вершина волчка);
он движется под действием двух сил, а именно, силы тяжести, приложенной в
центре масс D, и силы реакции связи в точке О, такой, что точка О
остается неподвижной. Динамические свойства определяются заданием семи
чисел: массы т, главных моментов А, В, С для точки О и координат |, ц, ?
точки D относительно главных осей с началом в точке О. Теория такого
волчка приложима также к движению свободного твердого тела относительно
его центра масс под действием сил, эквивалентных одной силе с постоянной
