Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(54.7)
если комплексная переменная z удовлетворяет уравнениям
a2zp + l + (со2 - 2а2) zp - a2zp-i = 0 (р = 1, ..., п), J Re Zq = Re zn +
l = 0. J
(54.8)
Возьмем z0 = -ip чисто мнимым и напишем
г РФ
Zp = - ipe
(р = 0, 1, п + 1). (54.9)
Тогда все уравнения (54.8) удовлетворяются при условии, что выполняются
только два уравнения, а именно:
аУф + (со2 - 2а2) +
+ а2е~г<р = 0,
Re грег(п + 1)ф =0.
Второе уравнение выполняется, если ф принимает одно из сле-
(54.10)
Рис. 20. Комплексные амплитуды нагруженной струны с закрепленными кон-
дующих значении, цами для случая пяти частиц (". = 5), колеблющихся фг =
на фундаментальной моде (г = 1).
ПТ
п 1
(г = 1, п),
(54.11)
первое же из уравнений (54.10) удовлетворяется, если при
§ 54] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 165
ф = фг постоянная со имеет значение
сог = 2а sin фг (г = 1, ..п). (54.12)
Таким образом, нормальными частотами (или собственными частотами)
нагруженной струны с закрепленными концами будут:
vr = -^L=-isin ----------- (г = 1, ...,п) (54.13)
2я я 2 (п + 1)
и общее колебание дается наложением нормальных мод
П
ур - - Re 2 Ф ехР (ффг) cos (соrt + ег) =
Г =1
_ V Вг sin РГП cos [ 2at sin ---------+ е,.') (54.14)
~ 2jVt п + \ \ 2(i*+i) /
г = 1
(р = 1, . . ., п).
Комплексные амплитуды zp (54.9) можно представить с помощью круговой
диаграммы в комплексной плоскости, как на рис. 20.
ГЛАВА III
ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ИМЕЮЩЕЕ ОДНУ НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ
§ 55. Твердое тело, на которое не действуют никакие силы 1). Рассмотрим
твердое тело, на которое не действуют никакие внешние силы. Согласно
уравнению (44.4) его центр масс имеет постоянную скорость, а согласно
(44.7) движение относительно центра масс удовлетворяет уравнению
h* = 0, (55.1)
где h* - момент относительного импульса, взятый для центра масс.
Относительно этого центра тело имеет три степени свободы, и трех
скалярных уравнений, содержащихся в уравнении (55.1), достаточно для
определения движения.
Если на тело действуют внешние силы, которые, однако, не имеют
результирующего момента относительно центра масс, то движение
относительно центра масс по-прежнему выражается уравнением (55.1). Этот
случай встретится, когда твердое тело движется в однородном
гравитационном поле; тогда центр масс движется по параболе, но сила
тяжести не влияет на движение относительно центра масс.
Если твердое тело не свободно, а имеет неподвижную точку О, вокруг
которой оно может свободно поворачи-
*) Детали выводов и чертежи см. Аппель [2], II, гл. XX; Macmillan [17],
II, стр. 192-216; Routh [22], II, гл. 4, Synge and Griffith [26], стр.
418-429; Уиттекер [28]. стр. 162-171; Winkelmann and Grammel [29], стр.
390-404; Grammel R., Der Kreisel, т. 1, стр. 121-164, Berlin, Springer,
1950.
§ 55] ТВЕРДОЕ ТЕЛО, НА КОТОРОЕ НЕ ДЕЙСТВУЮТ СИЛЫ ]67
ваться, и если на тело не действуют никакие внешние силы, кроме реакции,
вызванной этой связью, то, как в случае (44.5), имеем
А = 0, (55.2)
где h - момент импульса, взятый для неподвижной точки.
Математические задачи, выраженные уравнениями
(55.1) и (55.2), тождественны, за исключением того факта, что в
уравнениях (55.1) моменты инерции берутся для центра масс, а в уравнениях
(55.2) - для неподвижной точки. В дальнейшем с помощью уравнения (55.2)
мы будем рассматривать задачу о вращении тела вокруг закрепленной точки
0\ заметим, однако, что все рассуждения приложимы также к случаю движения
вокруг центра масс в свободном движении.
Пусть (i, j, к) - главный (с ортами, взятыми вдоль главных осей инерции)
ортонормальный триэдр, закрепленный в теле, и пусть о - угловая скорость
тела и триэдра. Тогда
h - Дсщг B(H2j 4" С(лък, (55.3)
где А, В, С - главные моменты инерции для неподвижной точки О. Согласно
уравнению (55.2), вектор h неподвижен в пространстве, и его абсолютная
величина h постоянна. Следовательно,
А2 и,2 + BW+ С2со2 = к2. (55.4)
Согласно уравнению (25.4), кинетическая энергия имеет вид
П(о? + 5со2+ Сю32 = 2Т, (55.5)
и она постоянна, так как реакция связи не совершает работы.
Движение может быть очень наглядно описано методом Пуансо1). Эллипсоид
Пуансо, определяемый уравнением
Ах2 + Вуъ .+ Czz = 2Т, (55.6)
г) Poinsot L., Theorie nouvelle de la Rotation des corps., Paris,
Bachelier, 1851. Эта работа интересна исторически, потому что Пуансо
восставал против чисто аналитического подхода к динамике, выдвинутого
Лагранжем.
168 ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ИМЕЮЩЕЕ ОДНУ НЕПОДВИЖ. ТОЧКУ [ГЛ. III
неподвижен в теле и движение описывается следующим образом: эллипсоид
катится по неизменяемой плоскости (неподвижной в пространстве),
проведенной перпендикулярно к неподвижному вектору h на расстоянии 277/г
от точки О. Вектор, проведенный из точки О в точку касания, есть вектор
угловой скорости <*>; кривые, вычерчиваемые этой точкой касания на
эллипсоиде и на плоскости, называются соответственно полодия и
герполодия.
Согласно уравнениям Эйлера (49.14) компоненты угловой скорости
удовлетворяют уравнениям
Ло)! - (В - С) аз2(0з = 0, Вы2 - (С - A) (03c0i = 0, ) Соз3 - (А - В)
