Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 48

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 124 >> Следующая

абсолютной величиной и направлением, приложенной к точке неподвижной в
теле. При такой интерпретации теория имеет значение в баллистике, где эта
сила обусловлена сопротивлением воздуха.
Волчок называется симметричным, если
А=В, ? = ti = 0, (56.1)
так что OD - ось динамической симметрии. Если условие
(56.1) не выполняется, хотя бы по одному из равенств, то волчок
называется несимметричным.
Для того чтобы исследовать движение несимметричного волчка, можно
применить уравнения Лагранжа,
!) Наилучшее общее исследование этой проблемы см. R о u t h [22], II, гл,
5. Об эффектах трения см. также Jelett J. Н., A Treatise on the Theory of
Friction, гл. 5, 8 (London, Macmillan, 1872); Grammel, op. cit., § 55,
стр. 107-121. В новой игрушке tippe-top тело имеет сферическую основу и
волчок опрокидывается, если его приводят во вращение с достаточно большой
угловой скоростью: теорию см. В raams С. М., Physica, Haag 18, 497
(1952); F о k к е г A. D., Physica, Haag 18, 503 (1952); Н а г i n g х F.
A. De Ingenieur4, Technisch Wetenschappelijk Onderzoek 2 (1952); Huge-
nholtz N. М., Physica, Haag 18, 515 (1952);Brien S. 0. and Synge, Proc.
Roy. Irish. Akad. A56, 23 (1954); P a r k у n D. G., Math. Gaz. 40, 260
(1956).
172 ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ИМЕЮЩЕЕ ОДНУ НЕПОДВИЖ. ТОЧКУ [ГЛ. Ill
выразив при этом кинетическую энергию через эйлеровы углы (й, ф, ф),
аналогично тому, как это сделано в (49.4). Однако физический смысл
проблемы выявляется более отчетливо, если воспользоваться уравнениями
Эйлера
(49.14), которые можно записать в виде
А<й1-(В-Ва>2- (С -Сщ-(А-
• С) (О 2 О) з = ¦А) озо) 1 -
• В) (l)i О) 2 =
¦mg(r\K3-mg (t,K i -¦ mg (IK2-
-m,
¦m,
где
К - K^i - K2j + K3k
(56.2)
(56.3)-
единичный вектор, К
направленный вертикально вверх (рис. 21). Так как направление К
фиксировано, то имеем уравнение
0 = к = ^ + <*хК (56.4) или, в координатной форме,
К1 -j- а>2К3 - а>3К2 = О, к2 + а>зК1~ а>1К3 = 0, (56.5)
кз СО 2 - (И2К{ = 0.
Шесть дифференциальных уравнений (56.2) и (56.5) - первого порядка
относительно coi, со2, м3, Ки К2, К3, причем эти величины могут быть
выражены через три угла Эйлера и их первые производные.
Эти уравнения допускают интегралы, которые являются следствиями
постоянства полной энергии, обращения в нуль момента силы тяжести
относительно вертикали, проходящей через точку О, а также того факта, что
К -
Рис. 21. Несимметричный волчок: mgK - сила гравитации.
§ 56]
ВРАЩАЮЩИЙСЯ ВОЛЧОК
173
единичный вектор:
1
(A oil + Ва>2 + С Юз) +!
+ mg (IKi + цК2 + ?A'S) = const, A (OiKi -f- Ва2К2 -j- С(r)3АГ3 = const,
К\ + К\ + К\ = 1.
(56.6)
)
В некоторых специальных случаях существуют еще другие интегралы. Наиболее
замечательный из них - интеграл Ковалевской, который имеет место в случае
А = В = 2С, I = 0. (56.7)
Переходом к новым главным осям (t, у, к) мы приводим т] к нулю. Тогда
уравнения (56.2) и (56.5) дают выражения
2со + ша>3 = i$K3, К -f 1Ки>3 = тК3,
(56.8)
где со = он -f ico2, К = Ki -f iK2, p = mg\jC. Исключая K3, получаем
уравнение
^ (со2 - pA) + ico3 (со2 - pA) = О, (56.9)
а отсюда
jt In (со2 - pA) = - ico3. (56.10)
Складывая (56.10) с комплексной сопряженной величиной, получим искомый
интеграл
(со2 - $К) (со2 - §К) = const
(56.11)
или
(coi - со2 - pA'i)2 + (2coico2 - pit2)2 = const. (56.12)
Этот интеграл вместе с первыми двумя интегралами
(56.6) дает нам три уравнения для эйлеровых углов и их первых
производных. Эти уравнения можно разрешить
174 ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ИМЕЮЩЕЕ ОДНУ НЕПОДВИЖ. ТОЧКУ [ГЛ. III
и выразить их решения через гиперэллиптические функции 1).
Р) Симметричный волчок: общее движение. Для того чтобы рассмотреть
симметричный волчок, удовлетворяющий уравнению (56.1), удобно
использовать два ортонор-мальных триэдра (i, j, k), (I, J, К), показанных
на рис. 22. Триэдр (/, J, К) неподвижен в пространстве и вектор К
направлен вертикально вверх; вектор к направлен вдоль
Рис. 22. Закрепленный триэдр (I, J, К) и движущийся триэдр (i, j, к) для
симметричного волчка.
оси симметрии OD, а вектор j - горизонтален. Положение триэдра (i, j, к)
описывается углом ¦&, дополнительным к широте, и азимутальным углом ф,
показанным на рис. 22.
Угловые скорости со и Q тела и триэдра (i, j, к) соответственно
выражаются уравнениями
<o = ai1i + (o2y + (o3*,
Q = fi1i + fi2y + fi3*, ( '
i) В приведенном доказательстве мы следовали Routh [22], II, стр. 159-
161, и Аппель [2], 11, стр. 181-185. Об исследовании волчка Ковалевской с
помощью уравнений Лагранжа см. Уиттекер [28], стр. 184-188. Здесь же
можно получить сведения о других интегрируемых случаях несимметричного
волчка. Детальное исследование по несимметричному волчку, включающее
использование уравнений Гамильтона см. Hamel [11], стр. 407-449. См.
также Grammel, op. cit. § 55, стр. 164-214.
§ 56] ВРАЩАЮЩИЙСЯ ВОЛЧОК 175
где
?0j = Qt = sin'0'ф, ш2=?22 =- "O', Q3 = cos6^. (56.14)
Момент импульса для точки О равен
h = Aui^i -|- Ao)2j-Cs(o%Ic] (56.15)
а момент силы тяжести относительно точки О
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed