Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
меньшего, чем г~1_Е (е > 0), так что при г0 = оо существует потенциал V
вида (51.4). При t = -оо частицы находятся бесконечно далеко друг от
друга. Они сближаются и взаимодействуют. Нас интересует результат
столкновения (т. е. состояние системы в t - +со).
Если г-> 0 при t-> оо или г остается ограниченным при t->оо, то будем
говорить, что имеет место захват. Если г-> оо при t->оо, имеет место
рассеяние. Мы хотим определить по заданным начальным условиям исход
некоторого столкновения, т. е. выяснить, получится ли в
!) Ср. Corben and S t е h 1 е [3], стр. 86-90. Голд-стейн [7], стр. 96-
105.- Д. Бом. Квантовая теория, Изд-во Иностр. лит-ры, Москва, 1961, гл.
XXI.О деталях теории столкновений частиц, подчиняющихся различным частным
законам сил, столкновений шаров, гладких и шероховатых, см. С h а р-m a n
S. and Cowling Т. G., The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases, гл.
10, 11. Cambridge, University Press, 1952. [Имеется русский перевод.
{Прим. ле/>ео.).] См. также G г a d Н., Comm. Pure Appl. Math. 2, 331
(1949) и его статью о кинетической теории газов в Handbuch der Physik, т.
XII. О захвате и рассеянии неподвижным центром в теории относительности
см. Singe J. L., Relativity: The Special Theorie, стр. 426. Amsterdam:
North-IIolland Publishing Co., 1956
S 52]
ЗАХВАТ И РАССЕЯНИЕ
145
результате захват или рассеяние, и определить в последнем случае, в каких
направлениях рассеиваются частицы.
Целесообразно рассмотреть некоторые частные случаи столкновений в трех
системах отсчета:
SM - система, в которой неподвижен центр масс, SR - относительная
система, в которой неподвижна частица т i,
Sь - лабораторная система, в которой частица т±, находится в покое при t
= -оо.
Оси всех трех систем параллельны между собой. Системы SM и SL -
ньютоновы, система SR движется с ускорением; однако SR - ньютонова
система при t = -оо, а в случае рассеяния также при t = +00.
Мы будем обозначать начальные скорости через vi, v2 с индексами М, R или
L, указывающими на систему отсчета, например (vi)M, (v2)R. Тогда
ml{vi)M + 'n2(v2)M = 0, {vi)b = (v1)l = 0,
так что во всех трех системах v2 имеет одно и то же напра-
В SM начальные условия доставляют пару бесконечных параллельных прямых
[асимптоты начальных (при t->- 00) траекторий]; в SRn SL мы имеем точку
(положение mi) и бесконеч- ш=шк, ,
ную прямую (асимптоту начальной траектории частицы т2). Рис. 14 пояс-
%
няет начальные данные столкновения независимо от того, какая система при
этом выбрана. Здесь fo - единичный
вектор направления v>2. В системе SR с_____________________________
или S L точка О совпадает с начальным О д положением частицы ти а в SM
начало координат - это некоторая точка асимп- показывающаГна-
тоты нэ.чэ.льной траектории чйстицы 772-1. чальное состояние
Вектор Ь проведен из точки О до пере- перед столкнове-
сечения с направлением к перпендику- нием.
лярно к нему. Это - вектор соударения и его абсолютное значение Ь -
параметр соударения или параметр столкновения; в действительности - это
10 Дж. Л. Синг
("2)в = Мь = (v2)m - (vi)m = (1 + "
\ Ш i
(
')
вление.
146
СИСТЕМЫ БЕЗ СВЯЗЕЙ
[ГЛ. тт
кратчайшее расстояние между двумя асимптотами начальных траекторий,
рассматриваемых в некоторой неускоренной системе. Относительная скорость,
фигурирующая на рис. 14, равна
w = г>2 - щ = wk; (52,2)
она, конечно, одна и та же во всех системах.
Рассмотрев первоначально столкновение в системе SR, мы перейдем сразу к
результатам в системе SM и несколько более сложным путем к результатам в
SL.
В SR частица mi остается постоянно в точке О (рис. 14)
и частица т2 описывает орбиту в плоскости (6, к).
Согласно уравнениям (37.5), (51.3) и (51.4), эта орбита определяется
следующими уравнениями:
du V i t \ i 1 \ 2 № - V) 2 /со о\
- = / (и), / (и) = -~2-----------и ' (52-3)
он / h
где
1 . , mi -\- т2
г
V (и) = - ' ^ 2 е Р (г) dr; (52.4)
mim2 '
(г, D-) - полярные координаты в плоскости движения, а величины Е и h
выражаются через начальные данные в виде
Е = 1 w2, h= bw. (52.5)
и
Время определяется формулой
JL с - du
h\ U2Vf (и)
t = 4- J - (52-6)
0
(cp. (37.6)). Исход столкновения зависит исключительно от функции /(о),
т. е. от вида функции V(u), масс частиц и двух постоянных (b, w). Имеем
/ (0) = = 12 > 0, (52.7)
h Ь
так что график функции / (и) начинается выше оси и (рис. 15). Если график
/(о) вовсе не пересекает эту ось
§ 52)
ЗАХВАТ И РАССЕЯНИЕ
147
(кривая 6'i), то f(u) > 0 для всех и и орбита спирально навивается па
точку О, давая в результате захват (рис. 16). Если кривая касается оси и
в точке и = и0 (кривая Сг на рис. 15), то имеется апсида с апсидальным
расстоянием г = г о = - . Эта Щ
апсида никогда не достигается, потому что f(u) содержит множитель (и -
-щ)\ и интеграл формулы
(52.6) расходится. Результат столкновения - захват,
как показано на рис. 17. Если, наконец, кривая пересекает ось и (кривая 2
на рис. 15), апсида появляется в конечный момент и мы имеем рассеяние,
