Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
при п > 2 решение проблемы встречает большие математические трудности.
Случай п = 3 (проблема трех тел) представляет особый интерес для
математиков; по этой проблеме имеется обширная литература1).
В проблеме трех тел имеются девять координат и девять импульсов и мы
имеем систему из 18 гамильтоновых
!) Современные изложения см. Wintner [30], гл. 5; Зигель К. Л., Лекции по
небесной механике, пер. М. С. Яров-Ярового, ред. Г. Н. Дубошина, ИЛ,
Москва, 1959; текущую литературу по проблеме трех тел см. Mathematical
Reviews, раздел Астрономия, проблема трех и п тел; каждый год появляется
в среднем около 14 исследований.
11 Дш. Л. Синг
162
СИСТЕМЫ БЕЗ СВЯЗЕЙ
[ГЛ. И
уравнений движения. С помощью интегралов (53.2) и
(53.3), применяя канонические преобразования1), удается уменьшить число
уравнений системы с 18 до 62). Если частицы движутся в плоскости, число
уравнений уменьшается до четырех.
Хотя не известно никакого общего формального решения проблемы трех тел,
однако существуют частные решения проблемы, известной как задача
Лагранжа3), в которой конфигурация этих тел представляет собой либо
жесткую прямую линию, либо треугольник; это следующие движения:
а) частицы остаются всегда на прямой линии, вращающейся с произвольной
постоянной угловой скоростью, которая определяет взаимные расстояния
частиц;
б) треугольник, образованный частицами, остается равносторонним со
сторонами постоянной длины, вращаясь в своей плоскости с произвольной
постоянной угловой скоростью, которая определяет размеры треугольника.
§ 54. Периодические структуры. Пусть частицы массы т закреплены через
равные интервалы на бесконечной прямой струне (массой которой можно
пренебречь).; Если частицы испытывают малые поперечные колебания, то
перемещения ур (t) удовлетворяют уравнениям
Ур = а (Ур+i - 2Ур + УР-1) (Р = 0, ± 1, ± 2, ...),
(54.1)
где а2 = S/(md), S - натяжение, d - расстояние между частицами.
1) О канонических преобразованиях см. § 87, 91, 95.
2) См. Уиттекер [28], гл. XIII; Франк [5], стр. 71- 80; Grammel [8], стр.
346; Birkhoff G. D., Dynamical Systems, гл. 9, стр. 406, New York,
American Mathematical Society, 1927.
3) Ср. Уиттекер [28], стр. 445-448; R о u t h [22], I, стр. 232;
Caratheodory C., Sitzgsber. Bayer. Akad. Wiss., Math.-nat. Abt. 1933, 257
(Gesammelte mathematische Schriften, т. 2, стр. 387, Miinchen, Beck,
1955). Об элементарных решениях проблемы п тел см. Hamel [11], стр. 449-
464. Об устойчивости движения в задаче Лагранжа см. У и т т е к е р [28],
стр. 448- 450 и Grammel [8], стр. 370-372.
§ 54]
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
163
Если заданы следующие начальные условия:
Ур = ар, у = РР при t ~ 0, (54.2)
то решение уравнений (54.1) имеет вид
Ур
dp-bi1?2i (2я?) -f- flp-^ С J2i (2ах) dx
(54.3)
где J2i - бесселева функция порядка 21. Легко упростить это выражение,
используя рекуррентные формулы для функции Бесселя1).
Выше приведен простейший пример колебания решетки, которая может в общем
случае рассматриваться как бы состоящей из частиц различных масс, и может
быть двумерной или трехмерной (кристаллическая решетка трехмерного тела).
Пространственная периодичность системы является ее существенной чертой2).
Для струны конечной длины с закрепленными концами, несущей п частиц
равной массы, прикрепленных к ней через равные промежутки, имеем
уравнения движения вида (54.1), однако в этом случае имеются граничные
условия в виде
Ур = а2 (Ур + i - 2ур + Ур-t) (р = 1 "), 1 (54 4)
У о = Уп +1 =0. j
1) Очень удобный список формул бесселевых функций дан в книге McLachlan
N. W., Bessel Functions for Engeneers, Oxford, Clarendon Press, 1934.
2) Теорию колебаний решеток, с историческим введением и исследованием
электрических схем, математически эквивалентных механическим структурам,
см. Бриллюэн Л., П а р о д и М., Распространение волн в периодических
структурах, ИЛ, Москва, 1959. В добавление к историй вопроса, данной
Бриллюэ-ном, можно заметить, что Гамильтон глубоко разработал этот вопрос
в статье, названной "Динамика света", но опубликовал только короткий
доклад об этой работе; см. Hamilton W. R., Mathematical Papers, т. 2,
стр. 413-607. Гамильтон получил формулу (54.3) операционными методами,
функции Бесселя появлялись при этом как интегралы (цит. соч., стр. 451,
576).
О нагруженных струнах, цепях или гиростатах и сетках см. Routh [22], II,
гл. 9; о нагруженных струнах и молекулах см. Corben and Stehle [3], гл.
8; о теории удельной теплоемкости твердых тел Борна - Кармана см.
Blackman М., Handbuch der Physik, т. VII, ч. 1, стр. 330.
И*
164 СИСТЕМЫ БЕЗ СВЯЗЕЙ [ГЛ. II
Чтобы решить эти уравнения, подставляем в них
Ур = "Пр cos (и< + е) (Р = 0, 1, ..п + 1), (54.5)
где г)р, со и е - константы; тогда уравнения (54.4) превращаются в
следующие уравнения:
а г)р + 1 + (со2 - 2а2) г)р + a\p-i = 0 (р = 1, ..., п), )
т|о .= Т|п + 1 = 0. J
(54.6)
Эта система уравнений удовлетворяется величинами
у]р = Re zp (р = 0, 1 п + 1),
