Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь какую-нибудь 2 X 2-матрицу V. Предположим, что она
унитарна (UU* = U+U = 1), но вообще не эрмитова (U+ =^= U). Если P-
матрица вида
(14.4), то формула
Р' = UPU* (14.5)
определяет 2 X 2-матрицу Р'. Легко показать, что Р'- эрмитова матрица со
следом, равным нулю и поэтому формула (14.5) определяет преобразование
пространства в себя (х, у, z)->(x', у', z'). Так как UU* = 1, то det U-
det U' = 1 и отсюда detP'= detP; поэтому выполняется условие
х'2 у'2 _j_ z'i - х2 yi _j_ (14.6)
гак что единичная сфера преобразуется в себя. Кроме того, формула
преобразования (14.5) teT dP' = UdPU+ и отсюда, как и выше,
dx'2 -f dy'2 + dz'2 = dx2 + dy2 + dz2, (14.7)
и, таким образом, преобразование есть жесткое вращение вокруг начала
координат1).
Пусть X - действительное число; положим с = cos у х, s = sinyX- Тогда
легко видеть, что три матрицы,
Ui(x) = ci - isou U% (х) - cl iso?, U3 (X) = cl - isa3,
(14.8)
согласно (14.2) унитарные. Расслютрим преобразование
Р' = Uз (X) PUt (X) =(cl - isa3) (xOi + уа2 + za3) (cl + isa3).
(14.9)
Проведя алгебраические вычисления с учетом (14.2), находим, что при этом
преобразовании
х' = х cos х - У sin %, у' = х sin % + У cos %, z' = z.
(14.10)
г) В § 15 станет ясным, что это преобразование - собственное.
Доказательство см. Murnaghan (цит. соч. в § 10, стр. 298), где
обсуждается теория групп, связанная с матрицами Паули.
56
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
[ГЛ. I.
Это преобразование (относительно осей, неподвижных в пространстве)
соответствует вращению на угол % вокруг оси z. Если в (14.9) вместо U3(%)
подставить Ui(%) или Uг(х)> т0 вследствие симметрии выражений (14.2) и
(14.8) получатся аналогичные вращения вокруг осей х или у соответственно.
§ 15. Связи между матрицами Паули и другими способами представления
вращений. Свяжем сначала матрицы Паули с углами Эйлера. Три матрицы
формулы
(11.6) соответствуют следующим вращениям: на угол ф вокруг оси z, на
угол # вокруг новой оси у и на угол ф - вокруг новой оси z. Эти вращения
соответствуют матрицам С/3(ф), С/2(ФК С^з(ф); в таком случае
преобразование г' = Mr, где М задается формулой (11.6), то же самое, что
и преобразование
Выражая Т через стереографические параметры, имеем, согласно (13.9)
') Матрица Т отличается от соответствующей матрицы, данной Голдстейном и
имеющей в двух элементах множитель i. Это отличие вызвано тем, что наше
вращение (11.2) - это вращение вокруг оси у, в^ то время как у Голдстейна
[7], стр. 133, в определении углов Эйлера второе вращение выбрано вокруг
оси х. В результате, в его работе появляется щ там, где у нас стоит о%.
Р' = ТРТ*,
где Р - матрица вида (14.4)*), а T=Ua{<?)Uz{Q) С/3(Ф) =
(15.1)
(15.2)
(15.3)
§ 16] БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ 57
так что преобразование (15.1) можно написать в виде / z' х' - i у '
\х' + iy' z'
р q\ / z x - iy\/p-q\ (15.4) v-q pi \x + iy z l \q p/
pp + qq = l.
Унитарность матрицы T может быть показана без труда. Выражая Т через
параметры Эйлера, имеем согласно
(13.9)
q - iv - iX - р.'
- iX р
IV
или
- iXdi - ipor2 - iv<т3 + pi,
(15.5)
(15.6)
так что преобразование (15.4) можно записать в следующей форме:
х'<*1 + У '<*2 + z <т3 = (- iXcfi - ^<*2 - ivffa + pi) X X (xOi + уа2 +
zor3) (iXoi + ipor2 + w<x3 + pi),
>.2 + p2 + v2+p2= 1.
(15.7)
Такое представление эквивалентно кватернионной формуле (12.6):
x>i + y'j + z'k - (Xi + p7 + vk + p) x X (xi + yj + zk) (- Xi - p7 - vk +
p), (15.8)
Л2 + p2 + v2 + p2 = 1. j
§ 16. Бесконечно малые перемещения. Бесконечно малое перемещение твердого
тела можно свести к бесконечно малому переносу и бесконечно малому
вращению. Благодаря их инфинитезимальному характеру перенос и вращение
коммутативны, так как можно пренебречь
58
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
[ГЛ. I
всеми дифференциалами выше первого порядка. Это делает исследование
бесконечно малых перемещений сравнительно простым.
Для того чтобы рассмотреть бесконечно малое вращение, возьмем угол
вращения х> который входит в фор-
мулы (10.2), бесконечно малым, так что V = -^xRQ = ^-
Пусть х - бесконечно малый вектор (с абсолютной величиной %),
направленный вдоль оси вращения. Тогда
X = 2V, и уравнение (10.8) дает для бесконечно малого
перемещения, получающегося вследствие вращения на угол выражение
г' -г = хХг- (16.1)
Из векторного характера этого уравнения заключаем, что бесконечно малые
вращения можно суммировать, складывая соответствующие векторы х по
правилу параллелограмма.
В матричной форме уравнение (16.1) имеет следующий вид:
/ 0 -Хз Хг\
г' - г = Mr, М = I Хз 0 ~ Xi ). (16.2)
\ -Х2 X* 0 /
где хь х21 Хз - компоненты вектора х- Матрица - косо-симметрична. Легко
непосредственно доказать, что любая ортогональная матрица, бесконечно
мало отличающаяся от единичной матрицы, отличается от нее на
кососимметричную матрицу.
ГЛАВА II КИНЕМАТИКА
§ 17. Система отсчета. Скорость частицы. Пусть S0 - абсолютно неподвижное
пространство (см. § 4) и пусть S - какое-нибудь твердое тело, находящееся
