Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 21

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 124 >> Следующая

это относительная скорость изменения F.
20] ПОДВИЖНЫЕ оси 67
Если, в частности, V = о, то имеем соотношение da бы
dt bt
(20.5)
и, таким образом, абсолютная и относительная скорости совпадают.
Для абсолютной второй производной имеем выражение
d*V b2V _ bV , бы , ТЛ /ОЛ
-^Г = -^Г + 2(0ХЖ + -^ХЕ + (0Х((0ХЕ). (20.6)
Применим эти формулы к вычислению скорости и ускорения. Пусть Sо
абсолютно неподвижно, a S - твердое тело, находящееся в некотором
движении. С телом связан и ортогональный триэдр (i, j, к), начало О
которого имеет радиус-вектор г о (0 относительно некоторого начала
неподвижной системы координат. Пусть Р - к^кая-либо движущаяся точка или
частица, не обязательно принадлежащая телу S; ее абсолютный радиус-вектор
г (относительно начала в S0) может быть представлен в виде
г = г0 + г', (20.7)
где
г' = xi + yj + zk- (20.8)
Этот последний вектор в действительности не что иное,
как вектор ОР\ (х, у, z) - координаты точки Р с точки зрения наблюдателя,
связанного с телом S. Тело S есть тогда движущаяся система отсчета.
Согласно (20.3) абсолютная скорость точки Р равна
dv dvо dv > f | r /on n\
D= dT=='dri"dr = Do + D +"Xr- (20.9)
где v0 - абсолютная скорость начала координат О, ' br'
v =~^ относительная скорость точки Р, измеряемая
наблюдателем, движущимся вместе с >?; ее компоненты
равны (х, у, z), о - угловая скорость тела S.
Если точка Р принадлежит S, то v' = 0, поэтому оставшаяся часть (г>0 + о
X г') называется переносной скоростью.
Gg Кинематика [гл. It
Дифференцирование выражения (20.9) дает абсолютное ускорение точки Р в
виде
а = а0 +а'+ ас +at, (20.10)
где
аа = - абсолютное ускорение точки О,
, &г'
а = -gp- = xi -f- yj + zk - относительное ускорение,
ас - 2о) X к' -ускорение Кориолиса (или дополнительное),
(20.11)
at = о) X г' + о) X (о) X г') = о) X г' + ю (ю-r') - о)2г'. (20.12)
Здесь о) = dat/dt = 6ш/61.
Если Р принадлежит телу S, то а' = ас = 0 и
a = aa + at. (20.13)
Эта часть выражения (20.10) называется переносным ускорением.
Если угловая скорость постоянна (ю = const), то имеет место соотношение
at - - Доз2, (20.14)
где R - вектор, проведенный в точку Р и перпендикулярный к оси ю; его
можно назвать центростремительным ускорением.
ГЛАВА III
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАСС И СИСТЕМЫ СИЛ
§ 21. Центры масс. Моменты и произведения инерции.
Центром масс системы частиц с массами т* и радиусами-векторами гг
является точка, радиус-вектор которой определяется уравнением
2 Щ-rt
г = ---- . (21.1)
/| т.
Если система жестко перемещается, то ее центр масс перемещается с ней.
В однородном гравитационном поле гравитационные силы, действующие на
систему частиц, статически эквивалентны (или эквиполентны) одной силе,
действующей на центр масс. Поэтому центр масс обычно называют центром
тяжести. Иногда также употребляют название барицентр. В этой книге всюду
будет употребляться термин центр масс.
Для континуума плотности р центр масс определяется формулой, аналогичной
(21.1), в которой суммирование заменено интегрированием:
(21.2)
I Qdr
Эта формула применима в случаях распределения масс по объемам,
поверхностям или кривым. В этих случаях dx означает соответственно
элемент объема, поверхности или длины, ар - соответствующую плотность.
70 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАСС И СИСТЕМЫ СИЛ [ГЛ. III
Если система S состоит из п частей Sf (i = 1, 2, п) с массами mt и
центрами масс гг, то центр масс системы S можно найти по формуле (21.1),
если заменить каждую часть Si частицей с массой ти сосредоточенной в
точке гг.
Линейным моментом частицы относительно начала координат называют вектор
тг, а ее квадратичным моментом относительно осей координат - матрицу или
тензор
Линейный и квадратичный моменты системы получаются суммированием или
интегрированием.
С квадратичным моментом тесно связаны моменты и произведения инерции.
Момент инерции частицы Р с массой т относительно прямой L есть
произведение тр2, где р - расстояние точки Р от L. Произведение инерции
частицы относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей есть mpq,
где р, q - расстояния частицы Р от плоскостей, взятые с соответствующими
знаками. Моменты и произведения инерции системы находятся суммированием
или интегрированием1). Таким образом, для системы дискретных частиц
моменты инерции относительно осей координат Oxyz имеют вид
а произведения инерции относительно координатных плоскостей -
F='?1miyizi, G='?1mizixi, H='Elmixiyi. (21.5)
Если V ~ (I, т, п) - единичный вектор, проходящий через начало координат,
то момент инерции системы
(21.3)
А = 2 т} (у] + z-), В = 2 mt (zt xf)] \
р у / 2 4_ <21'4)
С = L mt (Xi + yt),
7 '
!) Если система с общей массой т. имеет момент инерции / относительно
прямой L, то радиус инерции к относительно L определяется уравнением пгк2
= I.
ТЕОРЕМА О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЯХ
71
относительно V, по определению, будет равен / = 2 iriip2 = 2 mt | п X V\2
=
= Al2 + Вт2 + Сп - 2 Fmn - 2Gnl - 2 Him. (21.6)
Так как I - величина, не зависящая от выбора направления осей координат,
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed