Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Скорость vt любой частицы системы можно представить в виде
Vi = v + Vi, (23.2)
где v - скорость центра масс, a v{ - скорость относительно центра масс1).
Согласно определению (21.1) имеем
о, (23.3)
1
где г\ - радиус-вектор частицы относительно центра масс; отсюда следует
уравнение
2 niivl = 0, (23.4)
i
и вследствие (23.1) и (23.2) импульс системы равен
M = mv, (23.5)
где т - полная масса системы. Импульс какой-либо системы частиц может
быть заменен импульсом единственной воображаемой частицы, движущейся
вместе с центром масс системы и обладающей массой, равной полной массе
системы.
!) Под скоростью точки А относительно точки О здесь, как и в дальнейшем,
подразумевается скорость по отношению к поступательно движущейся системе
с началом в точке О. (Прим. перев.)
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
75
§ 24. Момент импульса. Моментом импульса*) частицы для точки О называют
выражение
h = г X М - г Xmv = т (г X v), (24.1)
где т - масса частицы, v - ее абсолютная скорость2) и г - ее радиус-
вектор относительно точки О. Его три компоненты имеют вид
hx = m{yvz - zvv),
hv = m(zvx - xvz), | (24.2)
hz = m{xvv - yvx). J
Абсолютное значение момента импульса относительно прямой, проходящей
через точку О, есть ортогональная проекция вектора h на эту прямую. Таким
образом, если V - единичный вектор этой прямой, то абсолютная величина
момента импульса равна
V-(r xM) = r-{Mx V) = M-(Vxr). (24.3)
Момент импульса системы есть сумма моментов импульса ее частей:
h = rt X 2j mi (ri X vi)- (24.4)
i i
!) Старый термин момент момента (moment of momentum) вышел из
употребления. Можно назвать его, следуя Аппелю ([2], II, стр. 37, 55),
кинетическим моментом (moment cinetique). В английском языке принят
термин угловой момент. Для него трудно подобрать подходящий символ,
который устранял бы всякую возможность путаницы с ранее введенными
обозначениями. В этой книге, следуя обозначениям Уиттекера ([28], стр.
74), используется символ й; так как квантовая механика в настоящей книге
исключается из рассмотрения, то h нельзя принять за постоянную Планка. Но
в других контекстах целесообразны другие обозначения. Голдстейн ([7],
стр. 162) использует обозначение L, несмотря на принятое всеми
обозначение L для лагранжевой функции; Аппель (цит.) и П е р е [20]
используют символ а.
2) Мы все еще имеем дело с кинематикой и ньютоново абсолютное
пространство не вводится. Абсолютная скорость здесь означает скорость
относительно той самой системы отсчета So> которая во всех наших
рассуждениях рассматривалась как закрепленная.
76
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАСС И СИСТЕМЫ СИЛ
[ГЛ. III
Точка О, для которой вычисляют момент импульса, может быть закрепленной
или движущейся. Для того чтобы исследовать влияние перехода от одной
такой точки к другой, рассмотрим две точки О, О*, абсолютные
скорости которых v, v*, и пусть 00* = г (рис. 8). Пусть
имеется некоторая система частиц Pi с радиусами-векторами г;, г[
соответственно относительно точек О, О*, так что
ri = ri + r'i. (24.5)
Тогда моменты импульса соответственно для точек О, О* равны
h = 2 mtrt X vh
* (24.6)
h*= 2 X vu
Рис. 8. Момент количества движения.
где vi - абсолютная скорость частицы Pt. Пусть v\ - скорость частицы Р(
относительно точки О*, так что
П = г* + г*; (24.7)
тогда выражения моментов импульса можно преобразовать к виду
h = 2 mi {r'i + г) X (V* + Vi),
(24.8)
и отсюда
h* = 2 mpi X (v* + v'i);
(24.9)
где m - полная масса системы. Эта формула особенно полезна, когда О* -
центр масс. В этом случае средний
член исчезает, и мы имеем выражение
h = h0 + h*, (24.10)
где
h0 = rXmv*, Л* = 2 X (шгщ). (24.11)
Момент импульса
77
Вектор h0 можно назвать орбитальным моментом импульса, a h* - спиновым
моментом импульса, заимствуя термины, принятые в квантовой механике.
Отметим, что h0 есть момент импульса для точки О некоторой воображаемой
частицы массы т, движущейся вместе с центром масс системы. Отметим также,
что h*- момент импульса системы для центра масс; действительно, при
вычислении h* безразлично, используем ли мы скорости частиц относительно
центра масс (как в формулах (24.11)) или абсолютные скорости.
Нужно подчеркнуть, что при конкретном вычислении момента импульса
необходимо точно указать I) систему отсчета, относительно которой
измеряются скорости, и II) точку, для которой взяты моменты.
Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О с угловой
скоростью ю, момент импульса для точки О равен
h = 2 mlri X Vi = 2 miri x (ю X rt) =
i i
= (a'^Imiri - ^jmiri((ari). (24.12)
i
Это векторное уравнение можно представить в виде следующих уравнений для
его трех компонент по осям некоторого ортогонального триэдра:
hi - Ami - tfco2 - Giо3, 'j
hi - -tfcoi -f- -Bco2 - ^соз, | (24.13)
hs = -(?(oi- Fio2 -f- Сш3, J
где (coi, со2, co3) - компоненты вектора ю и А, В, С, F, G, Н - моменты и
произведения инерции относительно триэдра.
Если оси триэдра совпадают с главными осями инерции, то уравнения
упрощаются и приводятся к следующему виду:
