Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
перемещение. Тогда скорость v частицы Р тела S можно представить в виде
суммы
" = "o + wXr, (19.2)
где vo- скорость точки Р0 и г - радиус-вектор точки Р относительно Р0.
Векторы г0> w и г можно определить, если задать их компоненты в некоторый
момент времени t " каком-нибудь ортонормальном триэдре Т, который может
быть неподвижным относительно So или относительно S или может двигаться
относительно их обоих. Обычно удобнее всего закрепить Т относительно S,
по в случаях симметрии, может быть, лучше, как это будет показано позже
(§ 56), выбрать один из векторов Т неподвижным относительно S и
совместить другие с плоскостью, неподвижной в Sо-
Так как v0 отделено от й в уравнении (19.2), то можно рассматривать
угловую скорость тела S так, как если бы точка Ро была неподвижной. Для
того чтобы выразить (о через углы Эйлера (§ 11), возьмем в качестве Т три
вектора (i, j, к) (рис. 5) неподвижными относительнэ S. Перемещение за
время dt может быть произведено бесконечно малыми вращениями d$, dip, dap
соответственно вокруг J1, К, к, так что будет иметь место уравнение
to dt = Ji dH -{-К d(p-|- к dap. (19.3)
Разлагая (Ji, К, к) по осям (i, j, к), получим
<o = (o1i + (o2jf Д- созА:, "щ = й sin ар - ф sin й cosap, |
со2 = й cos ар + Ф sincp sin ар, co3 = ap-{-(pcos'fl'. J
(19.4)
64
КИНЕМАТИКА
[ГЛ. I
Аналогично можно разложить (J, К, к) по осям (/, J, К) неподвижным
относительно S0 (рис. 5), получим при этом
ш - ^i/ Ч- Ч-Qi= -^ sin ф +'ф sin ^ cos ф, й2= ftcoscp + ф sin li sin ф,
й3= ф + ф cos Ф.
(19.5)
)
Чтобы исследовать угловую скорость с помощью кватернионов и параметров
Эйлера, положим, что кватер-нионные единицы (i, /, к) соответствуют осям,
неподвижным относительно S0. Положение г частицы в момент' времени t
определяется уравнением вида (12.6),
г = qr од'1, (19.6)
где г0 = x0i + у о/ + z0k - начальное положение частицы и
q = hi + р/ + vk + р,
q'1 = - hi - р/ - vk + е, (19.7)
я2 + ра + v2 + е2 = 1.
Из выражения (19.6) имеем
• • -1 , ^ / -1\
г = qr0q + qr0 - (q ) =
dt
= qq V + rq ^ (q ') = qq .V - rqq at
-i
(19.8)
Заметим, что
gg_1 = (hi + p; + vk + q) (- hi - p; - v/c + e), (19.9)
и, кроме того, что
s Сяя~1) = $ {я~1'я) = + p|i + vv + её = о" (19.Ю)
так что эти произведения являются векторами.
Если
Q - Qp Ч~ fij/ Ч-
(19.11)
§ 1"]
УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА
65
есть угловая, скорость, разложенная по неподвижным осям, то согласно
(19.2) при v0 = 0 имеет место уравнение
г = ~2 (^г - г^)-
(19.12)
Сравнивая этот результат с уравнением (19.8), получаем
(19.13)
аг - га = О,
где
а = Q - 2 qq . (19.14)
Так как а - вектор иг - произвольный вектор, то уравнение (19.13)
означает, что а = 0 и поэтому угловая скорость равна
Q = 2qq"
(19.15)
выражая это произведение с помощью (19.9), найдем компоненты угловой
скорости по неподвижным осям (С у\ к)'.
Qi = 2 (Ар - Aq - |iv - piv), й2 = 2 (fip - fip - vA -j- vA),
Q3 = 2 (vq - vq - Api -)- A|i).
Согласно (19.15) имеем
q~{Qq = 2 q~l'q = ffli i + со а/ + co 3k.
Этим уравнением определяются сщ, co2, co3; отсюда, очевидно,
(19.16)
(18.17)
Q = coi qiq 1 + сo2qjq 1 + a>3qkq
-i
(19.18)
и мы находим coi, co2, co3 как компоненты угловой скорости по осям того
триэдра, который первоначально совпадал с (i, j, к). Проводя вычисление в
(19.17), найдем компоненты угловой скорости по движущимся осям1):
coi = 2 (Aq - Aq + |iv - ^v), 'j
co2 = 2 (|1q - pp + vA - vA), j (19.19)
co3 = 2 (vq - vq + Api - A^i). J
9 Другой вывод см. Уиттекер [28], стр. 29-30.
5 Дж. Л. Синг
66
КИНЕМАТИКА
[ГЛ. II
§ 20. Подвижные оси. Абсолютная и относительная скорости изменения
вектора. Теорию движущихся осей часто считают трудной и неясной из-за тех
требований, которые она предъявляет к нашей способности наглядно
представить тела в движении. Наилучший метод избежать возникающей таким
образом неясности состоит в рассмотрении проблемы с помощью бесконечно
малых смещений, разлагая действительные перемещения, которые происходят
за время dt, на совокупность элементарных смещений, каждое из которых
вызвано своей причиной. При этом порядок, в котором действуют эти
причины, не важен, так как бесконечно малые перемещения коммутативны. Для
краткости при дальнейшем выводе формул мы не рассматриваем эти причины
бесконечно малых перемещений.
Пусть (i, j, к) - ортогональный триэдр, вращающийся с угловой скоростью
и. Пусть компоненты вектора V по осям этого триэдра равны (Fi, V2, F3),
так что
V^VJ + Vnf + Vtk. (20.1)
Скорость изменения векторов (i, j, к) не зависит от того, закреплено или
движется начало триэдра. Эти скорости определяются единственно только
угловой скоростью <в. Если начало неподвижно, эти скорости совпадают со
скоростями точек с радиусами-векторами i, j, к
и, 'следовательно, согласно (19.2) имеем
Tt ="xi' = ^ = <20-2>
Дифференцируя выражение (20.1), видим, что абсолют-
ная скорость изменения вектора есть
dV SF
T = _ + MXF, (2о.З)
где
SF_ dV, dV2 , dV3
6t dt + dt J+ dt ' ( 0,4)
