Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
то элементы симметричной матрицы инерции
являются компонентами тензора второго ранга.
Для непрерывного распределения масс имеем для всех этих величин
аналогичные выражения:
§ 22. Теорема о параллельных осях. Главные оси инерции. Пусть L -
некоторая прямая и пусть Т0 - параллельная ей прямая, проходящая через
центр масс системы. Теорема о параллельных осях утверждает, что
где /, Iо- моменты инерции системы соответственно относительно L, L0, тп
- полная масса системы и р - расстояние между параллельными прямыми L и
То-Теорему легко доказать; имеет место и аналогичная теорема для
произведений инерции.
Из формулы (22.1) следует, что момент инерции относительно прямой Т0,
проходящей через центр масс, меньше, чем момент инерции относительно
любой прямой Т, параллельной Т0.
Главные оси определяются через стационарные значения моментов инерции.
Каждому единичному вектору V,
(21.7)
(21.8)
/ = / о + тр2,
(22.1)
72
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАСС И СИСТЕМЫ СИЛ [ГЛ. III
проходящему через начало координат (которым может быть любая точка),
соответствует момент инерции I вида (21.6). Направляющие косинусы (I, т,
п) вектора V, для которого I имеет стационарное значение, удовлетворяют
равенствам
Al - Нт - Gn = Н, 'j
-HI + Вт - Fn - Im, [• (22.2)
-Gl - Fm + Cn - In, J
где I - указанное стационарное значение. Три главных
момента инерции относительно начала координат являются теми стационарными
значениями, которые равны корням кубического детерминантного уравнения:
А- I - Н -G,
- Н В - I - F
-G -F С -I
0. (22.3)
Три корня этого уравнения действительные и положительные: действительные
- так как матрица (21.7) симметрична, и положительные -так как
квадратичная форма
(21.6) положительно определенная1).
Направления, определенные формулами (22.2), для которых I принимает
какое-либо одно из значений, полученных решением уравнения (22.3),
называются главными осями инерции относительно начала координат. Эти оси
образуют ортогональный триэдр2), и три плоскости, определенные им,
называются главными плоскостями. Произведения инерции относительно
главных плоскостей равны нулю и поэтому (поскольку это значительно
упрощает расчеты) почти всегда оси координат
*) За исключением случая, когда все массы лежат на одной прямой,
проходящей через начало; тогда она полуопределенная и один корень равен
нулю, а два других - положительные, равные между собой.
2) Если два из главных моментов инерции равны, то определяется только
один вектор триэдра и к нему можно добавить любую взаимно ортогональную
пару векторов, ортогональных уже найденному вектору триэдра; это - случай
аксиальной симметрии. Если все три главных момента инерции равны, то
произвольный ортогональный триэдр есть главный; это - случай сферической
симметрии.
§ 23]
ИМПУЛЬС
73
выбираются совпадающими с главными осями инерции. Тогда инерциальные
свойства системы описываются тремя главными моментами инерции А, В, С.
Момент инерции относительно произвольной прямой, проходящей через начало
координат и имеющей направляющие косинусы (/, т, п), определяется
формулой
/ = АР + Вт2 + Сп2. (22.4)
Для геометрического представления инерциальных свойств системы используют
эллипсоид инерции1), уравнение которого имеет вид
Ах 2+ By2 + Cz2 - 2Fyz - 2Gzx - 2Hxy = 1. (22.5)
Момент инерции относительно прямой L, проходящей через начало координат,
равен 1 /г2, где г - радиус-вектор этого эллипсоида, проведенный вдоль
йаправле-ния L.
Два распределения масс называются равномомент-ными, если их моменты
инерции относительно произвольной прямой равны. Отсюда следует, что две
равномо-ментные системы имеют общий центр масс, одну и ту же полную
массу, одни и те же главные моменты инерции. Справедливо также и
обратное.
Однородная треугольная пластинка с массой т равно-моментна системе из
трех частиц с массами т/3, помещенными в серединах сторон этого
треугольника. Однородный тетраэдр с массой т равномоментен системе-пяти
частиц, одна из которых, с массой 4нг/5, помещена в центре масс, а
остальные четыре, каждая с массой т/20, расположены в вершинах
тетраэдра2).
§ 23. Импульс. Импульсом частицы называют произведение mv, где т - масса
частицы, a v - ее скорость. Импульсом М системы называют сумму импульсов
!) Дополнительные детали относительно эллипсоида инерции и гирационного
эллипсоида и теорию моментов инерции вообще см. R о u th [22],. I, стр.
16-22; см. также Ames and М u г-naghan [1], стр. 191-196; П. Аппель [2],
гл. XVII, и Jung [12].
2) Ср. R о u t h [22], I, стр. 22-27.
74 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАСС И СИСТЕМЫ СИЛ
[ГЛ. III
ее частей,
M = '^miVi, М= ^ Qvdx. (23.1)
i
Все выводы, которые будут здесь получены, приложимы и к системам
дискретных частиц, и к континуальным системам, так что имеют место два
типа формул: в Одном выполняется суммирование, в другом - интегрирование.
Так как переход от одного типа к другому совершенно очевиден, то обычно в
дальнейшем мы будем писать только формулы с суммированием.
