Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
из х\ . .. хт. При q Ф 0 ортогональность перпендикуляра, о котором идет
речь в лемме, к написанному произведению вытекает из независимости я|э(у)
и ф(хр), 1 < р < т, и из определения перпендикуляра. При q = 0 это
следует непосредственно из определения перпендикуляра. Таким образом,
перпендикуляр, о котором идет речь в формулировке леммы, и есть :ф(^1) .
.. ф[хт)\.
Доказанному утверждению можно придать следующий вид. Рассмотрим плотность
совместного распределения вероятностей случайных величин фСад).. .ф(#ш),
которую запишем в виде const-ехр |------- (Лз, z)j, ?-
== (21, • • • ч zm) - нг-мерный вектор. Образуем гильбертово пространство
функций f(zu ..., zm) с интегрируемым квадратом модуля по этой плотности.
Возьмем произведение zi, .. ., zm и ортогонализуем его в смысле этого
гильбертова пространства ко всем многочленам степени, меньшей т.
Полученное выражение представляет собой многочлен степени ш, старшим
коэффициентом которого служит Z\ . .. zm, а остальные коэффициенты
ограничены. После этого для получения
ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ РЕНОРМГРУППА
177
:ф(#1) ... фОгт): следует подставить в этот многочлен вместо Zi
переменную фСг*), 1 < i ^ т. Лемма доказана.
Лемма 4. Имеют место следующие утверждения:
1) 4<3)(Tormd)<= 2 :A(S)(Torm'd):;
mf
2) A{s) = eS ^l(s) (Tormd) = 02 :A(S) (Tormd):;
m m
3) B(s) (Tormd) ?= 2 :5(s)(Torm'd):;
m' <m
4) B(s) = 2:-S<s)(Tormd):.
m
Доказательство. Равенства 1), 3) очевидны при т = 1, поскольку в этом
случае u4(s)(Tormd) = = :Л(в)(Tormd):; S(s)(TorTnd) = :S(s)(Tormd):.
Докажем их при т > 1 по индукции. В силу леммы 3 :С7(ф): = = U(ф) + ...,
где многоточие представляет собой элемент пространства 2 A(s) (TormM). По
предположе-
т' <т
нию индукции его можно представить в виде элемента пространства 2 :^4(s)
(Torm d).\ СлеДОВа-
тп' <т
тельно, : С/(ф): есть элемент пространства Л(8)(Тогт<2), т. е. включение
1) доказано. Равенство 3) непосредственно следует из 1), а 2) и 4)
вытекают соответственно из 1) и 3). Лемма доказана.
Первая информация о действии линеаризованной ренормгруппы содержится в
следующей лемме.
Л е м м а 5. Имеют место равенства
d%t {:A(S) (Tormd):) = :4(s) (Tormd):,
d%*h (:jS(s)(Tormd):) = :5(s) (Tormd):
при произвольных к ж т.
Доказательство. Утверждение леммы можно получить как следствие общих
свойств гауссовских распределений, но мы предпочитаем дать здесь
независимое доказательство. Включения
d%t (:A(S) (Tormd):) id :A(S) (Tormd):,
d%t (:B(S) (Tormd):) id :BU) (Totmd):
178
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
очевидны, поскольку на потенциалах U(ф), являющихся на самом деле
функциями от переменных дифференциал d%k действует как тождественное
преобразование. Для доказательства обратного включения снова
воспользуемся индукцией. При т = 1 требуемые равенства очевидны.
Предполагая, что они доказаны при Всех т! < т, покажем, что они верны и
при т. Пусть • ?/(ф)-' ^ : 4(s)(Torwd):. Тогда для любого F, зависящего
только от ?1лф, т. е. V = У(^ф) = = V (9^ф) е :A{S) (Torw/d):, т! <т,
можем написать
Г (:17 (ф):) - Г (ф) d (Sffc^o) =
= |:С/(ф):7(ф)^0(ф) = 0,
поскольку ' V (ф) е :A(s) (Torm'd) и :A(s) (Tormd): JL J_4(s) (Tor(tm) d)
при m' < т. Следовательно, (ф):е
e :A{S) (Tor(tm)d):. Тем самым первое равенство доказано. Второе равенство
доказывается аналогично. Лемма доказана.
Лемма 5 показывает, что подпространства :A(s)(TormcZ):, :B{S) (Tormd):
инвариантны относительно действия линеаризованной ренормгруппы. Поэтому
достаточно изучить ее спектр в каждом из этих подпространств. Начнем со
следующей простой леммы.
Лемма 6. Пусть G - гауссовское стационарное распределение со спектральной
плотностью pG(M. Тогда спектральная плотность гауссовского стационарного
распределения имеет вид
PKg{X) A-<a+1>d0U
113 х
X
X
0^Ps<k,
Us<d
d
хП
7-1
hr-\-Pr 2 Яг-
-2
k __ 1
ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ РЕНОРМГРУППА
179
Доказательство. Обозначим
h.da/2
2/е Ак(х)
Тогда
л d 23liKrk Л 2
?(Фй(^)-ф(0))=^]е2яШжЛ) тте
п-
2Пг%г r=i е г - 1
рG (X) dX.
Замена кХ = ц приводит к нужной формуле. Лемма доказана.
В условиях предыдущей леммы напишем для любого х <= Zd
ф(ж) = ljCk(x,y)<fh(y) + ty(x), (4.17)
где коэффициенты с(х, у) подбираются так, чтобы случайные величины г])(я)
были бы независимы от всех случайных величин срh(y).
Другая интерпретация той же формулы делается в терминах гамильтонианов:
если Н(ф) - гамильтониан, отвечающий гауссовскому распределению G, то Жф)
= == Случайные величины обладают важным свойством: 2 'Ф (у) = 0 при
лю-
У^Е-Ар^х)
бых х. Действительно, суммируя левую и правую части по точкам внутри
любого куба ДА(я), мы получим слева kad/2q>k(x), а справа линейную
комбинацию плюс 2 Ф {у). Иными словами, 2 'Ф (у) мо-
У^Ак(х) У^Ак(х)
жет быть представлена как линейная комбинация фДу). Но из независимости ф
и фь тогда следует, что 2 ф(у) есть константа, равная, очевидно, нулю.
yeAk{x)
Сейчас мы найдем явный вид коэффициентов ch(x, у). Положим dk(x, у) ==
^фЫфь(у), Ъ(х) = = 6 * (ж) = (ж) фА (0). Умножая левую и правую
