Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
;Дйбгё'ЮГ*
OCpjCfc.
1С j < d
__ А 0(.3> m
дЖа/2+1)-'V ' ' '
Мы можем переписать последнее соотношение в
виде (?Л (ф; т)) = ky~dW2+1\h (з^ф, A-j. Поэтому
и при любом тп > О
[:& (ф; т):] = Л^-Л"Л+1))^ф; _т
Теперь мы можем построить собственные гамильтонианы линеаризованной
ренормгруппы.
Теорема 4.5. Гамильтониан J :[?& (ф; т)]т: dx
Rd
является собственным гамильтонианом линеаризованной ренормгруппы.
ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ РЕНОРМГРУППА
Доказательство. Имеем д%1 J :[?л(ф;т)1т: dx = j д%*к (:[?ft (ср; т)]т:)
dx ¦¦
Rd Rd
Г* Г / г
: dx.
L V ' К I
Rd
Произведем в последнем интеграле замену переменных х = х/к. Тогда мы
получим
j" :[?ft (ф; T)]m: dx =
Rd
= /^-rf(a/2+DHd j* :[^ (8fft(p; T,)]m; ^
Rd
Теорема доказана.
Посмотрим теперь, при каких h функция р(3)(Я; т) имеет абсолютно
сходящийся ряд Фурье. Ясно, что для этого необходимо, чтобы у ^ ad. Можно
показать при помощи рассуждений, изложенных выше, что этого и до-
l d \ -1
статочио. В частности, если у = ocd и h= / (Я) [ПК
\г=1
то это так. Соответствующее собственное значение рав-
но ут =
d.
Предыдущие рассуящения можно несколько обобщить. Пусть сейчас a j - d-
мерный вектор, h(X i, ... ..., Km) - однородная функция d/71-переменных
степени у и
р<" (К,, . . ., %т] X) = 2 Л(Х1 + Р1,!..Дя + рт) Х
PV-Pmeza
хехр (Тп ^г + Рг)К
г=1
т = (т19 ..., хт) <= Rmd. Образуем функцию
т
p(hs) (Хг, ... ,1т; т) = р(3) (Ки .. ¦ Дт; т) Д (р^ (А,,-))-1
j=l
186
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
И
Г (х\ т) = Г (х - т) = j ехр j- 2ni 2 (хт, ^r)| X
X Р/г ^ (Я1? . . . , кт', т) .. . dXm,
х = (х±, ..., хт), X|GZd, 1 ^ т,
и построим случайное йяг-мерное поле
Zh (ф; т) = 2 Г (х - т) :ср (хг) . .. ф (хт):.
Такие же рассуждения, что и выше, показывают, что (С* (ф; Т)) =
F"md(a/2+1)?, (91,ф; т)
и гамильтониан J ?, (ф; т) dx является собственным
Rmd I а \
с собственным значением у и -У - + 1J + d.
Обсуждение результатов. По-видимому, не все собственные гамильтонианы,
построенные выше, являются существенными. Для обсуждения этого вопроса
рассмотрим вначале случай, когда (а - i)d не является четным целым
числом. Гамильтониан, отвечающий гауссовскому автомодельному
распределению, имеет вид
н = 2 а (х - у) ф (я) ф (*/), а (%) ~ const | х |~ad,
т. е. порождается дальнодействующим потенциалом. По своему замыслу,
линеаризованная ренормгруппа предназначена для обращения с поправками к
гамильтониану. Поэтому естественно предположить, что надо рассматривать
только такие собственные гамильтонианы, у которых взаимодействие убывает
не медленнее, чем \x\~ad~l. Если считать, что взаимодействие
раскладывается по степеням Ы"а<*"р, р - целое, то порядок однородности
функции h{% 1, ..., Ят), участвующей в построении собственных
гамильтонианов, должен принимать значения у = та, та - 2, ... Тогда мы
получаем собственные значения ут = (т(а/2 - 1) + l)d, ут = {mia/2 - 1) +
Ш - 2 и т. д.
Заметим теперь, что поскольку наш анализ предназначен для ферромагнитной
критической точки, то следует рассматривать только четные гамильтонианы
и, соответственно, только четные т = 2т\.
ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ РЕНОРМГРУППА
187
Имеем теперь = (ос-1Ы>0, т. е. в пространстве квадратичных форм всегда
есть неустойчивый собственный гамильтониан. Далее, ^4 = 2 а - 3. При а <
^ 3/2, очевидно, ^4 ^ 0. Следовательно, при а < 3/2 только ^2 ^ 0, и мы
получаем необходимое условие термодинамической устойчивости гауссовского
распределения в виде а ^ 3/2. Заметим, что уm/d = т{а/2 - 1)+ 1 переходят
в логарифмы собственных значений для гауссовского решения иерархической
модели, если положить а = 2 - log2C, к = 2.
Другое необходимое условие получается следующим образом. Рассмотрим при т
= 2, т. е. в пространстве квадратичных форм, однородную функцию степени
однородности у = doc - 2. Тогда соответствующее собственное значение
равно (a - l)d - 2, и мы приходим к другому необходимому условию
устойчивости гауссовского распределения: (а - 1 )d - 2 ^ 0, т. е. а < 1 +
-Ь 2/d. Оба этих условия изображены графически на рис. 5.
188
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
При (а - 1 )d, являющемся целым числом, гамильтониан гауссовского
автомодельного распределения порождается экспоненциально быстро убывающим
потенциалом, т. е. является короткодействующим. Отвечающая ему функция на
d-мерном торе является вещественно-аналитической. В таком случае
естественно рассматривать собственные гамильтонианы, соответствующие
вещественно-аналитическим функциям. Легко проверить, что при этом не
возникает новых условий устойчивости гауссовских распределений.
§ 9. Точки бифуркации, негауссовские автомодельные распределения, е-
разложения
Предыдущий анализ показывает, что при ат = 2 -
- 1 /т, т = 1, 2, 3, ..., имеются нейтральные собственные гамильтонианы.
Как и в случае иерархических моделей, в окрестности таких а естественно
ожидать появления новых негауссовских ветвей автомодельных распределений.
В этом параграфе мы построим формальное е-разложение для гамильтонианов
