Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
группа пространственных сдвигов {74, ^ g Z'1}. где (7т/ф)(^) = ср(х + t).
Пусть к > \ - це-
§5] АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 167
лое. Введем линейный эндоморфизм Sfft(ct) = SIk пространства 2Я,
действующий по формуле
("*ф)(*)"735л 2 Ф(")-
к y<EAk(x)
Эндоморфизмы 8tfe образуют мультипликативную полугруппу: ЯЙ1*Я*2 = SIklkr
Полугруппу 81 = {SIJ ес-
тественно рассматривать, когда производится нормировка случайных величин.
Определение 4.1. Полугруппа St называется ренормгруппой. Ясно, что T%h =
StkTth. Обозначим через Я(0) полугруппу, порожденную всеми Т1 и Stfe.
Теорема 4.2. Полугруппа St(0) изоморфна полугруппе линейных *
преобразований пространства Rdf
X + t
действующих по формуле х---, где te Zd, к > > i - целое.
Доказательство. Сопоставим преобразованию Тг сдвиг x-^x-\-t, а
преобразованию St сжатие х-+-
-^"1" х• Легко видеть, что сдвиги и сжатия удовлетворяют тем же
соотношениям коммутации, что и Т\ Stfe. Следовательно, порождаемая
полугруппа изоморфна Г0). Лемма доказана.
Через (81(0))* обозначим сопряженную полугруппу, действующую в
пространстве распределений вероятностей на 9Й, т. е. для любого S е 9t(0)
и любого распределения вероятностей Р на SK
(S*P)(C) = PiS-'C), С с=2Я.
Определение 4.2. Распределение вероятностей Q на ЗЯ называется
автомодельным, если оно является неподвижной точкой полугруппы (91(0))*.
Ясно, что автомодельное распределение Q трансляционно-инвариантно.
Очевидно также, что описанные в начале этого параграфа предельные
распределения являются автомодельными. Теперь наша задача состоит в
описании класса автомодельных распределений.
Эта задача в общем виде достаточно сложная, поскольку автомодельных
распределений, по-видимому, довольно много. С точки зрения теории,
излагаемой в этой главе, важность того или иного автомодельного
168
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
распределения определяется классом гамильтонианов i/, для которых это
распределение появляется в качестве предельного при fi = (JCr.
Перейдем теперь к непрерывным аналогам введенных выше понятий. Удобнее
действовать в рамках теории обобщенных случайных процессов. Пусть
фиксировано какое-либо пространство 2F основных функций, определенных на
Rd. Предположим, что группы сдви-тов и подобия оставляют пространство i7"
инвариантным, т. е.
(f/)W=/U + "e^,
(3tx/)(#) = f(Xx) = f(Xx\, ..., Xxd) e
для любого X > 0 и любой функции / е ST. Группа St(0), порожденная
группой сдвигов {оо -V х + t) и группой {х-*Хх), изоморфна группе
линейных преобразований пространства Rd вида х-*~ X (х + t).
Рассмотрим действие группы 91(0) на пространстве линейных непрерывных
функционалов на действующее по формуле
(*Ф,/) = Ьв (ф, §1/),
где для = X (х + t) положено (Щ)(х) = f(X(x + ?)), а - параметр,
аналогичный параметру а в дискретном случае. Через (3t(0))* обозначим
сопряженную группу, действующую в пространстве распределений вероятностей
на , т. е. обобщенных случайных процессов.
Определение 4.3. Распределение вероятностей Р на iF", т. е. обобщенный
случайный процесс, называется автомодельным, если оно инвариантно
относительно Ш(0))*, т. е. (3L*P)(C) = для любого
СсГ.
Выясним связь между двумя введенными определениями. Пусть %а(*)(у) -
индикатор множества Xi < < Vi < Xi + 1, i = 1, ..., d. Предположим, что
найдется последовательность функций /п е дг, сходящихся в каком-либо
смысле к %А(х) так, что соответствующая последовательность случайных
величин (ф, /п) слабо сходится к случайной величине, которую мы обозначим
ф(я), х=(х\, ..., xd). При естественных предположениях об этой сходимости
индуцированное распределен
§ 6] ГАУССОВСКИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ itfg
ние вероятностей случайных величин будет авто-
модельным распределением вероятностей с а = - 2a/d. Действительно,
автомодельность в непрерывном случае
означает, что случайные величины ] / (у) ф (у) dy и
Ха J ф (у) / (Ху) dy одинаково распределены. Возьмем X = к~1 и / =
%Aft(x), считая, что это возможно. Тогда
мы получим, что J Ф (у) dy и к~а j ср (у) dy одина-Aft(0) Ai(0)
ково распределены, т. е. получим автомодельное дискретное распределение с
а = -da/2. С помощью этого замечания мы объясним ряд формул, возникающих
далее.
§ 6. Гауссовские автомодельные распределения
Гауссовские автомодельные распределения сравнительно легко описать.
Начнем с дискретного случая и d= 1.
Теорема 4.3. Гауссовское стационарное распределение будет автомодельным
тогда и только тогда, когда его спектральная плотность р(Х) имеет вид
С > О - произвольная постоянная.
Доказательство. Проверим, прежде всего, что гауссовское распределение с
такой спектральной плотностью будет автомодельным. Для этого надо
убедиться в том, что
<k(X+l)-l k-1 ч
2 fP (*)' i 2 <P (S)/ = <СР (*)' Ф (°)>-
К S = kx Л s=0 /
Левая часть равна j_r 2 е"а<>.-->р№)<й =
А 0 hx<Sl<k(x+l)
0<s2<k
= -f
ка J
e2nihk - 1
p (X) dXM
170
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
Произведем в последнем интеграле замену переменных Хк = ц. Мы получим
