Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, гауссовское распределение со спектральной плотностью р
будет автомодельным. Для того чтобы убедиться, что других таких
распределений не бывает, заметим, что условие автомодельности позволяет
однозначно найти все корреляции <ф(я), ф(0)> по <ф(0), ф(0)>. Таким
образом, автомодельные распределения вероятностей образуют
однопараметрическое семейство. Так как такое семейство уже построено, то
теорема 4.3 доказана.
Естественным обобщением теоремы 4.3 служит следующая теорема.
Теорема 4.4. Пусть /(Яь ..., Xd) - положительная при X Ф 0 однородная
функция степени d(а+1). Тогда спектральная плотность
порождает гауссовское автомодельное распределение.
Доказательство этой теоремы представляет собой буквальное повторение
рассуждений первой части предыдущей леммы. При d > 1 нельзя уже
утверждать, что последняя формула описывает все гауссовские автомодельные
распределения.
1
2niXkx е'
,2 nikk - 1 2
k
ka+1 -
, ^2rri|ix j ^2яip,
-1 i22----------=
m
0
h
2Яг|ХХ I ^2ni\i
0
,2Яг|ЛХ I ^2Яг|Х
1
-j*"*'"""*
0
s-1
me tA
ПРОСТРАНСТВО ГАМИЛЬТОНИАНОВ
171
Важная особенность выражений для р(Я) - наличие интегрируемой особенности
в точке Я = 0. Именно благодаря этой особенности возникает медленное
убывание коэффициентов корреляции.
Как уже указывалось в гл. 1, гауссовские распределения можно
рассматривать как предельные гиббсовские распределения для квадратичных
гамильтонианов
вида Н = 2 а {х-у) Ф (я) ср (у), а (ж) = j е2пг(*',х)р"~1 (Я) йЯ, где р -
спектральная платность. Рассмотрим при d > 2
d
функцию / (In .. ., Ю = II A] (^i + • • • + ^d)- Тогда
Z=1
р (Я,) ~ const ( 2 ^? ) при Я 0 и, следовательно,
d
р 1 (Я) - const 2 • Можно показать, что в этом слу-
i^i
чае р_1(Я) является вещественно-аналитической функцией на d-мерном торе.
Это значит, что отвечающий ей потенциал а(х) экспоненциально убывает на
бесконечности, т. е. является короткодействующим. Отвечающее ему а равно
1 + 2/d.
Теперь мы можем объяснить, почему индекс ц вводится способом, описанным в
§ 1. Считается, что автомодельные распределения, которые появляются при
Рсг как предельные распределения для распределений Гиббса, отвечающих
гамильтонианам с финитным радиусом взаимодействия, должны описываться
гамильтонианами с быстро убывающим взаимодействием. В гауссовском случае
такие гамильтонианы появляются только при а = 1 + 2/d. Поэтому, если ц Ф
0, то это свидетельствует о том, что автомодельное распределение является
негауссовским, а величина ц характеризует степень удаления от
гауссовского автомодельного распределения.
§ 7. Пространство гамильтонианов и определение линеаризованной
ренормгруппы
В этом параграфе мы обсудим важный аспект теории автомодельных
распределений и метода ренормгруппы, связанный с понятием устойчивости
автомодельно-
172
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
го распределения вероятностей. Неявно это понятие уже фигурировало при
исследовании иерархических моделей Дайсона. Вначале мы остановимся на
более общем вопросе о пространстве гамильтонианов.
Пусть переменные срЫ, х е Zd, принимают вещественные значения, - оо <
ф(#) < + оо. Рассмотрим для любого т ^ 1 га-частичный потенциал Щ<р) =
"2е • • •" хт) Ф Оч) • • • Ф (хт)- При такой записи
удобно считать, что каждый индекс х{ независимо пробегает решетку Zd, и
с(хи ..., хт)-симметричная функция своих аргументов. Мы не рассматриваем
пока вопрос о сходимости ряда для С/, но предположим, что коэффициенты
с(хи ..., хт) столь быстро убывают на бесконечности, что сходится ряд 2
| с • • •* Х(tm))У
х1>-''>хт
В таком случае каждому потенциалу Е/(<р) мы можем однозначно сопоставить
ряд Фурье и{%) -
= 2 ехР |2яг 2 {%п ^г)| с (хъ ..., хт), представляющий
собой непрерывную симметрическую функцию с абсолютно сходящимся рядом
Фурье на d-мерном торе. Обозначим через 4(s)(Tormd) банахово пространство
таких функций С нормой !М| = 2 I с ixli • • ч хт) I-
*1" •••"*!"
Тем самым пространство потенциалов U(ф) превращается в банахово
пространство, которое мы по-прежнему обозначим A(s)(Tormc/). При этом
ясно, что если U <= ^(s)(Torm*d), V е a4(s)(Torm*d), то U • V е е
^(s)(Tor(wi+m2^). Через Ли) обозначим прямую сумму 2 -4(s)(Tormd) этих
пространств с нормой
7П>1
1 1 * 1 А^Ктог772^) *
га
Каждый потенциал U е Л(5)(Тогтой) однозначно порождает трансляционно-
инвариантный гамильтониан
Жф)= х и{т\) =
te zd
- 2 2 с (ж, + X, .. ., хт + х) ф fo) ... Ф (Хт).
Xi ,'.-,xm<EZd xGZd
Этот ряд имеет формальный смысл, но коэффициент
ПРОСТРАНСТВО ГАМИЛЬТОНИАНОВ
173
d(x±, .... хт) = 2 с (х1 + я, ..., хт + х) определен
однозначно, если U е Л u)(Tormd) и dCa^ + х,
, . ., .гт + я).= d(xb . .хт).
Может случиться так, что два потенциала U\, U е 3.(s)(Tormd) порождают
один и тот же гамильтониан в том смысле, что соответствующие коэффициенты
d совпадают. Мы будем называть такие потенциалы Z71, II2 гомологичными.
Лемма 2. Два потенциала U1, U2 гомологичны тогда и только тогда, когда
отвечающие им функции "{(л), и2(Х) совпадают на (т-Ud-мерной диагонали
