Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
этих распределений. ДЛЯ ПРОСТОТЫ рассмотрим 771 = 1, е = ос
- 3/2.
Пусть #о(ф) - гамильтониан гауссовского автомодельного распределения с
данным ос. Будем искать гамильтониан Жф) искомого негауссовского
автомодельного распределения в виде
Ж ф) = #0(ф) + 8Ж(Ф) + е2Я2(ф) + • •
где Hi^B{s), i = i, 2, ... Сделаем также следующее упрощающее
предположение: будем искать Жср) из условия инвариантности его не
относительно всей полугруппы 9t(0), а только относительно полугруппы
порожденной группой пространственных сдвигов и циклической подполугруппой
Ш2ъ). Смысл этого упрощения в том, что мы сможем искать
трансляционноинвариантный гамильтониан Жср), исходя из условия его
инвариантности относительно единственного преобразования 912- Запишем
(4.17) сокращенно в виде: ф = СГ2ф2 + 'ф. Действие оператора 912 состоит
в том, что мы должны подставить в гамильтониан вмес-
ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ
189
то ф последнее выражение и проинтегрировать результат по всем я]). Тогда
условие автомодельности можно формально записать в виде
е-Я(ф2) = J -щс^ъ+t,)^'
Далее, поскольку #0(ф2) + Я0(г|)) = Н0(С2ф2 + ф), то для определения
поправки e#i + г2Н2 +... имеем равенство
- -?"Яа- . . .
е 2 =
= j е-Я0^)-8Я1(С2Ф2+^)-е2Я2(С,2Ф2+^)-*-*сг,1[} (4 Щ
Это соотношение есть аналог основного интегрального уравнения теории
иерархических моделей. Функциональный интеграл, стоящий справа, будем
брать по теории возмущений.
Мы будем искать поправку гН\ + г2Н2 в виде
(гах + г2а2 + е3аз + .. .)Ga + е2/2 + е3/з +
где aj, а2, а3, ... - числа, не зависящие, разумеется, от 8, G-4 е
:J5(s)(Tormd): -собственный гамильтониан линеаризованной ренормгруппы с
собственным значением 2 а - 3 = 2е, 7, е В{8\ / = 2, 3, ..., -
поправочные гамильтонианы, также не зависящие от 8. Покажем, как найти ах
и /2. Разложим правую часть (4.19) формально в ряд по 8,
ограничившись членами 2-го поряд-
ка по 8 включительно, и произведем интегрирование:
J ехр {- HQ (ф) - (гал + е2а2 + ...) С4 - е2/2 - -esJ3-e4/4- ...}tty=
= [ е (l - (ea4 + e2a2 + ...) G4 +
+ j a\Gl - e2/2 + .. • W' =
= 1 - 2"8 (fiCl-i "i" 4" • • *) ^4 +
Выражение G\ не есть элемент пространства B{s\
190
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
однако для него естественно определяется действие д%2 как почленное
действие на каждое слагаемое. Результат может быть записан в виде
5§(2 G± = G\ J^ J6,
где /2j *= :B(s)(Tor2id):, / = 1, 2, 3. Разлагая формально левую часть
(4.19) в ряд по е с точностью до малых 2-го порядка включительно, получим
^-ВН1-В^Н2-... _е~(гa1+e2a2+...)G4-e2/2-...
= 1 - ea1Gi + г~ a\G\ - e*aaG4 - 8Чг + . ..
Сравнение членов 1-го порядка по е приводит к тождественному соотношению.
Нетривиальное уравнение получается от сравнения членов 2-го порядка по е
#2^4 - ^2 ~
== - 2 (In 2) axG4 - ^2^4 Н"^2"Т"^4_Ь*^6 - 5312/2
или
5312/2 - /а ~ - 2 In 2ах G4 -{- /2 -[- /4 -{- /6. (4.20)
Так как 531* оставляет инвариантным каждое из подпространств
:S(s)(Tormd):, то последнее уравнение можно решать по отдельности в
каждом из них. Пусть I<2j - проекция h на :Z?(s)(Tor2jd):. Тогда (4.20)
эквивалентно трем уравнениям:
531*/22 - /аз = -/а,
5312*/24 - /а4 - - 2 In 2аг G, + /4,
5312*/26 - /*в = /6.
В первом и третьем подпространствах спектр (531* - - Id) равномерно
отделен от единицы, и поэтому можно написать
/" = и2* - Id)-1 /2, /2в = (д%*2 - Id)-1 /6,
Id - тождественный оператор. В подпространстве :5(s)(Tor4d): оператор
(531* - Id)-1 имеет собственное значение (22е - I)-1 ~ 1/(21п 2)е. Для
получения ре-
ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ
19]
шения, не зависящего от е, необходимо, чтобы правая часть имела нулевую
проекцию на соответствующее собственное значение. Это условие приводит к
выбору коэффициента а\. А именно, если [КЯц ^з, ?ч) - функция с абсолютно
сходящимся рядом Фурье, отвечающая J4, то при а\ = [КО, 0, 0, 0)/21п 2
действительно эта проекция будет равна 0. После этого мы можем написать
/24 в виде
124 = И* - Id)-1 (- 2 ln 2ах Gi + /4),
и решение будет ограничено при малых е. П. М. Бле-хер показал, что а\ Ф
0.
Нахождение следующих коэффициентов может быть описано с помощью диаграмм.
Мы кратко приведем соответствующие рассуждения. Допустим, что уже найдены
коэффициенты а\, а2, ..., ат~2 и гамильтонианы /2, ..1т-к Разложим
формально в (4.19) экспоненту в ряд но е до членов 7?г-го порядка
включительно. Выпишем члены т-го порядка и слагаемые при ат-\ порядка
ет~!:
h+-' - + lm-1
еm-1am_1G4 + в" 2i -Цт--------т Г~ a'i (Gi)h х
V • • • lm-V
772 - 1
х П (Ь + - етЯт.
Для применения к этой сумме преобразования следует каждое слагаемое
проинтегрировать по г|х При этом придется интегрировать произведения
переменных г|) двух типов. К первому типу относятся распадающиеся
произведения, когда if (я) входят не во все сомножители. Ко второму типу
относятся нераспадающиеся произведения, в которых из каждого сомножителя
входит хотя бы одно переменное я|Кт/). Результат интегрирования
нераспадающихся произведений обозначим рт. Тогда уравнение для qm примет
