Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
части (4.17) на ф^Ы и беря от обеих частей математическое ожидание,
получим
4 (я, Z) = 2 (х, У)Ъ(у - Z).
180
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
Далее,
1 Г
ехр{2яг(А,ж)}х
X 2 ехР - 2я1 2 ViM Pg Ю ^ -
' r==1 '
1=1, ...,m
= ^75 J exP {2я" (A,, x - kz)} x
^ exp {- 2яг'&А,.} - 1 X IX exp |- 2яг'Яг} - 1 PG (^)
если a (p) = f exp {2Jti (A., p)} рЛ (A) dA, to
^ ^feG
\\a(p ~ p') II - II Mp - p') Г1
и
Ch(?,y)=1idk{x,z)a{z - y) =
= 75I75 2 j* exp (2яг (A, x kp)} X
pezd
-A- exp (- 2ткКЛ - 1 X Д exp {-2nttr} - 1 pG ^ d^ X
X J exp {2jti (p, p - y)} p~lG (p) dp =
" ?357* J* exP [2ni x - кУ)}у
x
Д exp (- 2яikhr) - 1 pG (A) dh
r=i CXP (- 2ягАг) - 1 p * (A)'
*k(G)
Положим pG} (^) = XI (exp (- 2niXr) - 1)-1 pG {К) для
r-1
любого гауссовского распределения G. Тогда окончательно можем написать
Ch (я, у) = ^ j* ехр {2я? (А, ж - ку)} (А) х
Х(Р<е(^Га- (4Л8)
ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ РЕНОРМГРУППА
181
Теперь мы можем непосредственно исследовать спектр линеаризованной
ренормгруппы для гауссовского автомодельного распределения G.
Лемма 7. Пусть :U: е :A{s)(Toimd): и u(Ai, ...
..Ат) - преобразование Фурье U, т. е. симметрическая по Аь ..., %т
функция на ттгй-мерном торе с абсолютно сходящимся рядом Фурье. Тогда д%ъ
(:?/:) = = :У: е :А(8) (Torwd): и преобразование Фурье
v(Xi, ..Хт) потенциала V имеет вид
1 1 v (А1? ..., Am) = md(cc/2+1) -г X
* П № {К)
г-1
-. т
X 2 п ро'
О^Pj<k, l^j<m
где запись 0 ^ Pj< к для d-мерного вектора р, = = (рл, Pid) означает, что
0^pi3 < к при всех 1^
< s < d.
Доказательство. Пусть U (ф) = 2 с (^ii • • •
..., хт) ф (хх)... ф (хт), :U (ф):=2 с (хъ ...,хт)<р (хг)...
.. . ф (хт) + ..., где многоточием отмечены члены меньшей степени от
переменных ф. Для нахождения д% 1и или (:J7:) следует подставить вместо
ф пра-
вую часть (4.17) и результат проинтегрировать повеем я|}(у). Ясно, что
при этом получится
. V. = 2 с • • •" ^m) (*^l) • • • Ф& (р^т) "Ь • • • 9
^ (^Т? • • • ч %т) ^
= 2 ск(У1,Х1) .-.Ск{ут, Хт)с{уъ ..-,Ут!-
Vl,...,vmez*
Так как с (i/j, • • •, Ут) ~ j exp | 2я? 2 (^р> I/p)j X X и(/....,
/.г.!Х/л, то, пользуясь видом коэффициентов
182
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
ск(у, х) (см. (4.18)), получим
2 Си (Уъ Х^ ... Ck (ут, Хт) С (уи ...,ут) =
Vl l'mszd
(* I т )
2 2я"2(Л.р,Ур)|х
т
X II 1 ехР {2 л z (l%>? Ур кхр)} Pg^ (рр) (pg} (^Фр)) d\ip =
р=1 *
~ kdam/2 J и ^1" • • • Дт) <Р, X
X I* 2 ехр{- 2ni2((^p - Ур),Ур)\х
' Vl Ут
( т \ т
X ехр ] - 2nik 2 (хр, Рр) II РG> (рР) (рс'' (*рР))-1 d\n -
{ р=1 j Р=1
" Jjda/2 J еХР I 2 л j/c 2 (ХР1 ^p)J и (^i? • • ч кт) X
т
хПреЧМ (рР (Щ))-1 dl.
Р=1
После этого замена кХР = \iP приводит к формуле, указанной в формулировке
леммы. Лемма доказана.
Из леммы 7 следует, что если 2 \ch (*Л х) I <c°nst<
х
< оо при всех г/, то V ^ A(s)(Tormd). Мы покажем, что это так для
частного случая, когда функция /(Я), фигурирующая в формуле (4.15) для
спектральной плотности автомодельного распределения, имеет вид
d
/ (А) = const • Ц А,р | A |(a~1)d. Это предположение ведет
к асимптотической изотропности корреляционных функций.
Так как ск(у, х) = ск(у - кх) есть коэффициент Фурье функции х W = Pg}
(к) • (pG} (/сА))-1, то достаточно исследовать убывание коэффициентов
Фурье функции %(к). Ясно, что единственными точками, в окрестности
которых функция %(А) не гладкая, являются
ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ РЕНОРМГРУППА
183
точки вида X = {р/к, 1 ^ ^ d). Мы исследуем вначале окрестность точки 0.
Легко видеть, что в окрестности 0
Pg } Щ = Si {к) (-5 Ь g2 (к) П Xj V
^П^1(а"1)<г j==1 J
где g\, g2 бесконечно дифференцируемы в окрестности нуля и gi(0) ?=0,
gfe(0) =^0. Поэтому в окрестности нуля
РG11 (A,) (pg' (АЯ))-1 =
i +
= const -ft (А,) (& (/сА,))-1----------------------^---------------------
1 + 4IIMU |(а_1)^2 (к%)
3= 1
при некоторой постоянной Л, 4 ?=0, 1. Иными словами, в окрестности нуля
Х(Я)=А1(А,)+ПМ|А.|<в_1)'1А, (А),
3=1
где fci, бесконечно дифференцируемы и отличны от нуля. Аналогичное
рассмотрение в окрестностях точек Хр = {pj!k}dj=1, р =(Pi, •. - ,Pd)*
показывает, что х&) -
- X (Лр) ~ const- | X - Хр Хорошо
известно, что такие особенности приводят к убыванию коэффициентов Фурье
со скоростью const • \х\~ad. Это дает требуемый результат.
В дальнейшем мы рассмотрим только случай, ког-а
да в (4.15) / (X) = С JI X) | X |(a~1)d. Из доказанного
вытекает, что д91^ (:A(S) (Torwd):) = :A(S) (ТогтсГ):и, следовательно,
дЖн (*5(s) (Тотта):) = (Tormd):.
184
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
Пусть MX) - произвольная однородная функция степени 7. Образуем функцию
Р/*2)(А,;т)= 2 щ^ехр{2яг(тД + т)}, т <=Rd,
mGZd
p/i3) (Я; т) = pL2) (?.; т) (р^ (Л))"1.
Допустим, что при каждом т е= Rd функция р/(3) (X; т) е е -A(s) (Tord) =
A (Tord). Построим гауссовский случайный процесс с непрерывным временем
(ф; ъ) = = 2Г(ж;т)ф(а:), где
Г (ж; т) = Г (х - т) = J ехр {- 2ni (х, Я)} -рк3) (к] т) dk.
Тогда t,h (Ф5 т) <= 4<s) (Tord) = :^4<s) (Tord): и в силу леммы 7 (?л
(ф; т)) имеет преобразование Фурье
