Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
т
У, Яг = 0(тосИ).
г= 1
Доказательство. Хорошо известно, что
й(хъ ..., хт) =
т
-2лг 1т \ т
= U(4, ...,уе P=1 6 ЦЯр ЦйХр,
V Р=--1 / р=1
где 6^2 j означает, что интегрирование происходит по упомянутой (7?г - 1)
d-мерной диагонали. Отсюда вытекает, что по коэффициентам d взаимно
однозначно восстанавливается значение и(Х) на диагонали. Лемма доказана.
Заметим теперь, что подмножество пространства Л(3)(Тогт<0, состоящее из
функций и(Х 1, . . ., Яш), тождественно равных нулю на (гп-1)d-мерной
диагонали, образует замкнутое пространство /0. Поэтому каждый тп-
частичный гамильтониан Н естественно рассматривать как точку фактор-
пространства -4(s)(Tormd)l/o = =Z?(S)(Tormd). Тем самым пространство
рассматриваемых т-частичных гамильтонианов превращается в банахово
пространство. Через В{$) обозначим прямую сумму банаховых пространств
Б(8) = (r) 2 B(s) (Tovmd)
т 1
с нормой
!! V
174
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
Перейдем теперь к определению линеаризованной ренормгруппы. Пусть Q -
автомодельное распределение вероятностей. Для любой функции /(<р) е Q)
и любого к ^ 1 рассмотрим условное математическое ожидание Е (/ (ф) |
31/гф) = (931*) /, представляющее собой функцию последовательности 3(кф.
Ясно что ТгдЧIfe = 931 bTth для любого t е Zd. Предположим, что
автомодельное распределение Q таково, что для любого потенциала U (ф)
Ais) (Tormd) 931* (U (ф)) е ^4(s). Тогда для гамильтониана Н(Ф) - 2
Я(Г*ф)еЯ(8)
t<=Zd
мы можем положить (9Э{*) II = 2 (93t*) ?/ (Г*ф)- Яс-
t<=zd
но, что д%1н е= ?(8).
Определение 4.4. Полугруппа } = <991*,
действующая в пространстве Bis\ называется линеаризованной ренормгруппой.
Поясним смысл этого названия. Предположим, что Q1 - распределение
вероятностей, абсолютно непрерывное относительно Q, и /(ф) = dQ\/dQ.
Тогда 3l&<? 1т как нетрудно проверить, абсолютно непрерывно относительно
31& Qo = Qo и плотность
=("*д /.
С точки зрения теории предельных распределений Г иббса, трансляционно-
инвариантное распределение, близкое к Q, может быть записано в виде
Qe~BH, Я е ^ Я(5), а е - малый параметр. Тогда формально, с точностью до
малых выше первого по 8 порядка
< {Qe-*H) = я: (Q (1 - гн + ...)) =
= Q (1 - гд%*кН +...) = Qe~td^H+ -,
что поясняет смысл слов "линеаризованная ренорм-группа".
Гамильтониан Я е Я(в) называется собственным гамильтонианом
(линеаризованной ренормгруппы), если 931*Н~куН цри некотором 7. Если 7 >
0, 4 < О,
== 0, то Я называется, соответственно, неустойчивым,
ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ РЕНОРМГРУППА
175
устойчивым, нейтральным. В следующем параграфе мы изучим действие
линеаризованной ренормгруппы и вид собственных гамильтонианов для
гауссовских автомодельных распределений.
§ 8. Линеаризованная ренормгруппа и ее спектр в случае гауссовских
автомодельных распределений
Пусть Р - произвольное гауссовское распределение вероятностей на
пространстве Ш с нулевыми средними. Рассмотрим какое-либо произведение
cp(#i) ... хр^ Zd, 1 ^ р ^ 7тг, являющееся элементом гильбертова
пространства 3?2(Ш, Р).
Определение 4.5. Полиномом Эрмита - Ито случайной величины cp(#i). ".
cp(#m), обозначаемым далее :cp(#i) .. . ф(#т):, называется перпендикуляр,
опущенный из конца вектора cp(zi).. ,cp(#w) на замкнутое подпространство,
порожденное всевозможными случайными величинами ф(г/1)... ф(уР), р < лг,
е Ъл.
Пусть ЯеВ(8) (Tormd), Я = 2 d (хи ...,xm)(f> (хг).. .. .ср (хт). Тогда
полиномом Эрмита-Ито гамильтониана И называется формальный ряд
:Я: = 2 d {хъ ..., хт) :ф (хх) ... <р (хт):.
Введем следующие обозначения:
:H(S) (Tormd): = [:U (q>): , U (ф) е= A(s) (Tormd)l,
;В(8) (Тог(tm)<*): = {;# (ф); f н е= B(s) (Tormd)}.
Каждое из :4(s)(Tormd):, 'B{s)(Tormci)*- наделим структурой банахова
пространства, полагая норму :U(cp):, :R\, равной норме С/(ф), Н
соответственно. После этого мы можем, как и выше, образовать банаховы
пространства
0 2 :Ais) (Tormd):, (c) 2 -B{i) (Tormd):.
m m
Следующая лемма выражает важное свойство полиномов Эрмита - Ито.
JI е м м а 3. Полином Эрмита - Ито :ф(^1) • .. .
... • ф(хт): есть многочлен степени тп от переменных ф(#1), .,
фСтт), старшим коэффициентом которого яв-
176
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
ляется <p(#i) •... • ф(хт), и все коэффициенты равномерно (по х\, ..хт)
ограничены.
Доказательство. Мы покажем, что полином Эрмита - Ито :ф(^1) •... • ф(ят):
есть перпендикуляр,
опущенный из конца вектора cp(xi).. .ср(хт) на подпространство,
порожденное всевозможными случайными величинами ф (xh) • • • ф (xip)7 Р <
т-
Представим каждую величину ф(у), у Ф х\, ..., хт, в виде
т
Ф W = И с (у, Хр) ф (Хр) + ф (у), (4.16)
р=1
где i|Жу) -L ф(хр), р = 1, ..., т. В гауссовском случае ортогональность
означает независимость. Удобно далее считать, что если у совпадает с
одним из хр, 1 < р ^ ^ т, то с(у, хр) - б (у, хр), а г|з(у) = 0. Любое
произведение ф(г/i) ... • ф(уР) мы можем записать в виде линейной
комбинации произведений вида г|)(у i)...
... ^{yq)(p(yq+\) .. . Ф(ур), где каждое уТ, q + Kr<p, совпадает с одним
