Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
р) *)
Zn (t; Р) = Ln (Р) 2-"/2 ехр {- 2" (а0 (р) (|)" (2~"i)2 +
+ Bin) (Р) (2-nty + &{n) (t; р)}.
*) Использование вместо координаты z целочисленной координаты t означает,
что мы перешли снова к значениям полного спина 2 Ф (ж)*
Х?У(П)
ГАУССОВСКОЕ РЕШЕНИЕ
161
При этом оказывается, что равномерно по \t\^. const • "\/ft 2п ^
^ -т====г- стремится к 0. В результате полу-
V Рсг " Р
Z (z2~~nf2a 6)
чим, что JLL- 1Л*2П/2 слабо сходится к гаус-
ап Ф/
const ~
совской плотности с дисперсией порядка s-^75. Это
Рсг Р
показывает, что индекс ^ = 1-
При изучении (J > рсг аккуратные рассуждения более громоздки, и мы
поясним только идею. Мы снова пользуемся индуктивным предположением до
такого n = n({J), пока это возможно. При п = п мы запишем Z~(t; ?) в виде
Ч (f, Р) = L- (р) ехр {- 2* (б'"> (р) +
+ Ф (Р) 52 + bf\* + а0 (Р) с"2~2" I2 + <?<" > (6; Р)Ж I = t2-",
где следует рассматривать как погрешности. Ве-
личина 6(2n) (Р) ~ - const • (Р - Per), а п таково, что
] Ь(3П) (Р) | > с"2~п. Это показывает, что функция
(# (Р)) + (bf} (р) + а0 (Р) cV2") S2 + ЬЧЧ*
имеет вид, изображенный на рис. 4, и следовательно, у нее образуются два
минимума в точках zfcconst •
У-(^ЧР)+МР)сп=2-0.
Аккуратные рассуждения показывают, что при п > п распределение
вероятностей fn асимптотически при п-+°о рис 4
ведет себя как полусумма
двух гауссовских распределений, сосредоточенных около точек § - ±const •
У{1 - рсг. Это показывает, что критический индекс со = 1/2.
Теперь мы обсудим выбор начального гамильтониана. При п = п0 мы имеем
дело с объемом из 2П° точек.
*62
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
Возьмем потенциал взаимодействия в виде Нп0 (Ф (F(n"))) = С,Ф2 (Ф
(F(""))) - С2Ф4 (Ф (F("o))),
ф (Ф (У("в))) = 2 Ф (*).
*еу("о)
Выбор положительных постоянных Сi, С2 сейчас
будет уточнен. Имеем, очевидно, Zn (t; Р) =
- 0(Cjt2+C2*4) п 2П°_1 - </2 тт + Оп(\ S>~nft/2
= а • ^Ри * порядка 2 °с 0/ мы
имеем разложение для биномиального коэффициента, полагая ? = t2~n°:
Г* - с-по ~
2
= С"0 ехр {2П° (а0 - а2?2 - а4?4 - ... - a2iVI2JV +
+ О (?2JV+2))}. Переходя к переменным z = | • сп/2, получим Zno (zcn/*-
2~n; Р) =
= ехр {р + С2<Г2п<>24п°г4) -
- a22n°c~n°z2 - a42n°c~2"°z4 - ...
... - a2N2n°c~Nn°z2N + 2"" 0 (?2N+2)).
Легко видеть, что за счет выбора С\ показатель экспоненты может быть
записан в виде
const - а0 (Р) z2 -f (С3Р - а22п*>с~П{>) G2 (z; Р) +
+ (рС224пос-2по - а'42п°с~2п°) G4 (z; р) +...,
где многоточие означает полиномы Эрмита более высокой степени и
погрешности. Выберем Сз, являющееся функцией Ci, так, чтобы для
произвольного заданного заранее Р^ было бы СзРсУ - а22п°с~~по = 0. Тогда
Рсг} может быть сделано сколь угодно близким к Рсг за счет выбора щ.
Величина С2 должна быть взята такой, чтобы коэффициент при С4 был
отрицательным и по модулю превосходил const *(2с-2)п°. Яс-
ОБЛАСТЬ c<V2
163
но, что для Нп0 и для гамильтонианов Я, достаточно близких к ЯП(),
предположения Int(n°) будут выполнены.
§ 4. Область с <1/2
При с = У2 анализ § 3 нетрудно усовершенствовать так, чтобы охватить и
этот случай. Однако при с < У 2 собственный вектор Сг4 имеет собственное
значение 2с~2 > 1, и поэтому нет никаких оснований ожидать, что
гауссовское решение термодинамически устойчиво.
Оказывается, что при с, достаточно близких к У2, уравнение (4.6) имеет
негауссовское решение,'которое и будет термодинамически устойчивым.
Полное доказательство этого утверждения довольно длинное и здесь
приводиться не будет (см. [48], [54]). Мы опишем только основные идеи,
основанные на теории бифуркаций и теории инвариантных многообразий
неподвижных точек диффеоморфизмов.
Замена g (z; (3) = h (z; P) exp j- z2j переводит (4.6) в уравнение (4.6')
h (z; P) =
oo
= I + u;P)fe(j7T"u;P)exp{_2?^w2}dw-
-oo
(4.6')
Достаточно рассматривать, как уже указывалось, (4.6') при каком-либо
одном значении параметра р. Можно выбрать, в частности, Ро = (2-с)(2с)~1.
Тогда мы получим уравнение для h(z) = Mz; р0)
оо
h(z)= J h (-р=. + ы) h - uj е~и* du, (4.6")
-оо
которое естественно рассматривать как уравнение для неподвижной точки
квадратичного преобразования Tc(h), стоящего справа. Уравнение (4.6")
имеет решение h(z) = Уя, не зависящее от с. При с = У 2 в спект-
164
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
{ГЛ. 4
ре дифференциала дТс (h) =Ah появляется 1; соответствующий собственный
вектор есть полином Эрмита G4. Общая теория бифуркаций в конечномерных
пространствах говорит о том, что если проекция на G4 результата
применения второго дифференциала к G4 отлична от 0, то следует ожидать,
вообще говоря, появления новой неподвижной точки. Однако ни конечномерная
теория, ни ее обобщения на банаховы пространства непосредственно
неприменимы, насколько нам известно, в данном случае, ввиду, главным
образом, некомпактности множества значений z. Это связано, в частности, с
тем, что, по-видимому, не существует негауссовских решений (4.6"),
близких к гауссовскому, при с> У2. Тем не менее, негауссовские решения
