Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синай Я.Г. -> "Теория фазовых переходов" -> 46

Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.

Синай Я.Г. Теория фазовых переходов — РХД, 2002. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyafazovihperehodov2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 61 >> Следующая

%1п/'2 (2с~2)п.
Последний шаг - оценка In (l -(- Малость
этой величины вытекает из внешней оценки Ind^ и из быстрого убывания
гауссовского распределения. В самом деле,
Zn (zc-^2n; Р)< Ln (Р) ехр (- а0 (Р) z2 ^z4 (2с~*)п +.
W> )
-)-1~ (2c"2)n-const j
при всех z и
= ехр фг2) ^ -и;
6 У с
< ехр {- а0 (р"*> х
X 2 ехр{-2а0(Р)и"-12я1п>(2с-*)"^ +
\u\>S^Vn
вУс
+ в[п) (2с-2) - const} < Ы (р) Л-""1 X X ехр I- а0 (Р) z2 - consti-D2n
+const2-(2c~2)nD2n} •
Наоборот, 2Х > const - Ln (P) An exp {- a0 (P) z2 -f const3-- (2c-
2)nD2n}9 Поэтому SejSr^const-exp 1- const-D2n+ + const4*(2c~~2)nD2n}. Из
рекуррентных уравнений для L"(p) видно, что Ln ^ ехр {-const • п).
Следовательно, выбирая D и щ достаточно большими, мы сможем добиться,
чтобы последняя погрешность не превосходила -|г j^(n+i)/2 (2c-2)n+1.
Суммируя все оценки, находим, что R{n+l) удовлетворяет Indin+1). Таким
образом, при любом ^(n+1) s р(п) будут выполнены Ш[п+1).
Формулировка Ind2n+1)J сама по себе определяет выбор отрезка р(п+1), при
котором будет выполнено
158
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
Ind(2n+1). В самом деле, рассмотрим В[п+1\ В главном порядке В[п+1) =
В[п\ Добавление меняет В[п) относительно мало, по крайней мере у концов
отрезка В(п). Из Ind(4n) следует, что ъ[п) - непрерывная функция р.
Поэтому В(2п+1) (Р) - непрерывная функция р е р(п). Выберем р(п+1) так,
чтобы Z?(2n+1) (р) удовлетворяла Ind^+1).
Приведенное рассуждение, при всей его простоте, имеет глубокий смысл: во-
первых, оно описывает процедуру нахождения рсг и, во-вторых, с точки
зрения геометрической картины, описанной выше, оно соответствует
нахождению такого значения параметра р, при котором начальное
распределение вероятностей принадлежит устойчивой сепаратрисе
рассматриваемого гауссовского решения основного интегрального уравнения.
Последний шаг - проверка 1пйзП+1). Имеем при z>D^n +1 (случай z<-Dl/n +1
рассматривается аналогично)
Zn+1 Р) <
< Ы (Р) 2-п-1с(п+1)/22с-1/2 ехр {- а0 (р) z2} х
X
2 Ап ехр {- 2а0 (Р) и2} х
I z I D,r-1-Z.-U >- У п
I Ус I 2
X ехр|- в{п) + - в[п) (2c-2)^-i-.-uj4J+
+ 2 2 ехР 2а0 (р) и2 - #4П) (2с~2)п х
I
I 2 I D \-r--u \>-Уп
I Yc I 2 Ус
X ((~ + ")' + (-±= - u)4) + B^D2n (2с-Т
< Ll (р) А"+12с-V2 ехр {- а0 (Р) z* -
- В[п) (2с-з)"+1 Z4) (Ji + 2г2).
ГАУССОВСКОЕ РЕШЕНИЕ
159
Сумма 11, как и выше, оценивается с помощью сведения к гауссовскому
интегралу, что дает
^ ^2д~Щ ^ ^iW))- Погрешность | 8[п) | ^ const -2"п.
Что касается /2, то из неравенства ПУп+ 1 вытека-
ет, что | и | > -- ]/тг, и поэтому 12 ^ ехр {- const •
2 ус
• D2n}. Окончательно получаем /х + 2/2 ^ (1 + const X X 2-п) VW -ру.
Поэтому из рекуррентных соотношений
для L/n_\-1
Zn+1 (zc-"/*2*; Р)< Ln+1 (р) 2 (2c-i/2)"+i ехр {-а0 (р) z2--В[п)(2с-
Т+1г*(1-<*п+1)},
const • А2_
где an+i = g<n)(2e-2jn+iz4- с помощью оценки для
7 (П)
60 получаем
const .rew?vf/2 "№х|п/2 ",,_Л
""+i <.......~" < const < п ** '
если D достаточно _велико. _Таким образом, Ind(3n+1) выполняется с S4n+1)
= S(4n) (l - nNXln/2). Лемма доказана.
Замечание. Основными параметрами, используемыми в доказательстве,
являются константы Я1, D, N, щ. Требование к Х\ в ходе доказательства
встретилось дважды. После выбора Х\ выбирается D. Требования к величине D
диктуются, в основном, скоростью убывания гауссовской плотности на
бесконечности. Затем выбирается N так, чтобы обеспечить нужную малость
Q{n). После этого выбирается достаточно большое щ.
Окончим теперь доказательство теоремы. Для точки рсг е П Р(п) индуктивные
предположения Ind(n) вы-
п
полнены при всех п ^ п0. Покажем, что дискретное распределение,
вероятности которого имеют вид
Zn{%l27'K)=gn (*; Per) (c1/22"1)Tl 2-S " (Per)
слабо сходится к гауссовскому распределению с плот-
160
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
ностью j/^ о (jjcr) еХр |- а0(рсг) z2}. В самом деле, при
Zn (zc"/a2-n; Per) = Ln (pcr) A" exp {- a0 (pcr) z2} x X exp. {- 2 В&>
(pcr) Gih (z; pcr) - <?(n) -
Последний множитель в силу Indin) при п-+ оо равномерно по z^D{n)
сходится к 1. Из внешней оценки вытекает, что при z&D{n)
Z{zcn/2 2-";|5сг)<
< 2L" (Ре,) А" ехр {- а0 (рсг) z2 - (2c~2f fi(4n)z4}.
Здесь мы воспользовались тем, что 0 <; Б4П) <С Б4И). Отсюда
непосредственно следует утверждение о слабой сходимости gn(z; рсг) к
гауссовскому пределу, если принять во внимание нормировку.
Теперь необходимо рассмотреть р < рсг и р > рсг. Мы не будем проводить
подробных доказательств, а ограничимся общим описанием хода рассуждений.
Пусть вначале р < рСГ5 _но достаточно близко к р, так что до некоторого п
= п($) точка Р Р(п). Мы можем до этого п пользоваться индуктивными
предположениями Ind(n). Небольшое уточнение приведенных выше рассуждений
показывает, что функцию B(2n) (Р) можно считать дифференцируемой функцией
р. При этом ее производная останется ограниченной сверху отрицательной
константой, откуда следует, что В(Р) ~ ~const • (р - Рсг) при р рсг. При
тг> тг(р) необходимо перейти к несколько другому представлению для Zn(t;
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 61 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed