Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
построенной нами ветви, а при g > 8*(d) происходит скачок, и возникают
автомодельные распределения, лежащие далеко от этой ветви. Такую ситуацию
исключить нельзя, но, впрочем, и нет никаких указаний на возможность ее
осуществления.
4. Автомодельные распределения и спонтанное нарушение непрерывной
симметрии. Очень интересный вопрос - появление автомодельных
распределений при спонтанном нарушении непрерывной симметрии. Весьма
вероятно, что при больших fi трансляционно-инвариантные предельные
распределения Гиббса в системах с нарушенной непрерывной симметрией
принадлежат области притяжения гауссовских автомодельных распределений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛ. 4
195
Библиографические замечания к главе 4
1. Определение критических индексов имеется практически во всех книгах по
статистической механике. Упомянем для примера книгу Г. Стенли [43].
2. Иерархические модели Дайсона были введены в его работе [59].
Исследование этих моделей с точки зрения критической точки было впервые
проведено на физическом уровне в работе Дж. Бейкера [45]. Об этих моделях
упоминает также К. Вильсон в своих лекциях [94]. Строгий математический
анализ гауссовского решения содержится в статье П. М. Блехера и Я. Г.
Синая [47]. Изложение в тексте в целом следует ходу рассуждений [47], но
многие технические детали существенно упрощены. Случай с=У2 рассмотрен
отдельно П. М. Блехером в [5]. В работе П. М. Блехера [6] подробно
исследуется окрестность |3Сг для гауссовской точки.
3. Негауссовские решения для основного интегрального уравнения
иерархических моделей были построены в работе П. М. Блехера и Я. Г. Синая
[48]. В этой же работе приведены результаты численного счета
негауссовской ветви, проведенного П. М. Блехером. Эти исследования было
бы чрезвычайно интересно продолжить. Вероятно, мы сталкиваемся здесь с
примером задачи, в которой можно было бы получить строгие результаты на
основе машинных экспериментов.
В работе [48] были также найдены первые члены разложения критических
индексов по параметру е-}'2-с. В работах К. Томпсона и его сотрудников
[83], [93] значения этих коэффициентов были несколько уточнены.
Интересные результаты были получены в работе П. Колле и Ж. Экмана [54],
которые, в частности, показали, что критические индексы являются
бесконечно дифференцируемыми функциями в. Отметим также работу Дж. Мак-
Гайра [401] по сферическим иерархическим моделям.
4. Метод ренормгруппы в теории фазовых переходов был развит главным
образом в работах М. Фишера, JI. Кадаяова и К. Вильсона. С тех пор этот
метод стал одним из основных в теории критической точки. Хорошее
представление о его использовании физиками можно получить из обзоров Дж.
Когу-та и К. Вильсона [94], М. Фишера [60], С. К. Ма [99], Э. Врезана,
Дж. Jle Гийо, Дж. Зен-Жюстина [50], А. 3. Паташинекого и В. Л.
Покровского [31].
5. Понятие автомодельного распределения было введено в работах Я. Г.
Сипая [42] и Дж. Галлавотти и Дж. Йона-Ласи-нио [70]. Обсуждение этого
понятия помимо названных работ см. в работах Дж. Галлавотти и X. Кнопса
[69], М. Кассандро и Дж. ЙонаЛасинио [52], М. Кассандро и Дж. Галлавотти
[53], Дж. Йона-Ласииио [88]. Непрерывные автомодельные поля изучаются в
работах Р. Л. Добрушина [18], [58]. В одномерном случае автомодельные
поля появились еще в довоенной работе А. Н. Колмогорова, связанной с
проблемами подобия в теории турбулентности [22] (см. также [32], [44] и
доклады Я. Г. Синая [112], [113]). Гауссовские автомодельные поля в
дискрет-
196
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
ном случае были построены в работе Я. Г. Синая [42]. В работах П. М.
Блехера [7] и P. JL Добрушина и X. Такахаши содержатся примеры
гауссовских автомодельных полей со спектром, не описываемым (4.15).
6. Общую теорию полиномов Эрмита - Ито см., например, в статьях К. Ито
[901, в книге Б. Саймона [41] и в большой обзорной статье P. JI.
Добрушина и Р. А. Минлоса [19].
7. Примерно в том же духе, что и в §§7, 8, проводится изучение спектра
линеаризованной ренормгруппы для гауссовских автомодельных распределений
в статье П, М. Блехера [7], Ряд результатов §§ 7, 8 в частности, лемма 6
принадлежит студенту МГУ М. Миссарову.
8. На физическом уровне строгости е-разложения описанного в § 9 типа
появились в работах М. Фишера, С. К. Ма и Б. Никеля [61] и Дж. Зака
[117]. Негауссовские автомодельные распределения появились в работе М.
Розенблатта [108]. На той же примерно идее основаны примеры негауссовских
распределений в работах P. JI. Добрушина [18, 58]. Другие интересные
примеры негауссовских автомодельных распределений имеются в работах В.
Карвовского и JI. Стрейта [92] и С. А. Молчанова и Ю. Н. Сударева [30].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В последнее время появилось много новых работ, так или иначе относящихся
к проблемам, рассмотренным в этой книге. Здесь мы перечислим некоторые из
них.
В связи с содержанием главы 1, а также в связи с некоторыми проблемами
главы 4 большой интерес представляет анализ предельных распределений
